Номер 77, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

77. Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ найдите угол между векторами:
а) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AF}$;
б) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{EF}$;
в) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CB}$;
г) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$;
д) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BE}$;
е) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{DE}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника ABCDEF. Все стороны правильного шестиугольника равны, и все внутренние углы равны $120^\circ$. Сумма углов при одной вершине, образованных сторонами, составляет $360^\circ$.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$ отложены от одной точки A. Угол между ними равен внутреннему углу шестиугольника при вершине A. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

б) $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$

В правильном шестиугольнике сторона EF параллельна стороне BC и противоположно направлена. То есть, вектор $\vec{EF}$ сонаправлен с вектором $\vec{CB}$. Таким образом, $\vec{EF} = \vec{CB}$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$ равен углу между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$.

Чтобы найти угол между $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$, перенесем их к общему началу. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, исходящими из разных вершин, равен внешнему углу шестиугольника при вершине B, то есть $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$. Следовательно, угол между $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

в) $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$

Как показано в предыдущем пункте, для нахождения угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$, мы рассматриваем угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Угол между направлениями этих векторов, образующих стороны многоугольника, равен внешнему углу, который составляет $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Поскольку $\vec{CB} = -\vec{BC}$, угол между $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ будет равен $180^\circ$ минус угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

г) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$

В правильном шестиугольнике с центром O справедливо равенство $\vec{DC} = \vec{FA}$. Это можно увидеть, рассмотрев параллельный перенос. Поэтому угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равен углу между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{FA}$.

Вектор $\vec{FA}$ противоположен вектору $\vec{AF}$. Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$ равен $120^\circ$ (из пункта а). Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{FA}$ равен $180^\circ$ минус угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$.

Угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

д) $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$

Рассмотрим треугольник ABC. Он равнобедренный, так как $AB=BC$. Угол $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании AC равны $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$.

Длинная диагональ BE параллельна стороне CD. Значит, угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$ равен углу между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$.

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ выходят из одной вершины C, но один входит, а другой выходит. Чтобы найти угол между ними, нужно отложить их от одной точки. Угол между их направлениями будет равен $180^\circ - \angle ACD$.

Угол $\angle ACD$ можно найти как разность углов: $\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

е) $\vec{AC}$ и $\vec{DE}$

В правильном шестиугольнике сторона DE параллельна стороне AB, но векторы $\vec{DE}$ и $\vec{AB}$ направлены в противоположные стороны. Таким образом, $\vec{DE} = -\vec{AB} = \vec{BA}$.

Следовательно, угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DE}$ равен углу между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$.

Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ (оба выходят из точки A) равен $\angle CAB$. Как мы нашли в пункте д), $\angle CAB = 30^\circ$.

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$. Угол между $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$ равен $180^\circ$ минус угол между $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$.

Угол равен $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$.