Номер 73, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

73. В прямоугольнике ABCD $AB = 4$, $BC = 3$. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O и равны 5. Найдите модуль суммы векторов:

a) $|\vec{AB} + \vec{AD}|$;

б) $|\vec{AO} + \vec{BO}|$;

в) $|\vec{OB} + \vec{OC}|$;

г) $|\vec{AC} + \vec{BD}|$.

а) Чтобы найти модуль суммы векторов $|\vec{AB} + \vec{AD}|$, воспользуемся правилом параллелограмма для сложения векторов. Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ исходят из одной вершины A, их сумма равна вектору диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. В данном случае таким параллелограммом является сам прямоугольник ABCD.
Следовательно, сумма векторов $\vec{AB} + \vec{AD}$ равна вектору диагонали $\vec{AC}$:
$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$
Модуль этой суммы равен длине вектора $\vec{AC}$, то есть длине диагонали AC.
$|\vec{AB} + \vec{AD}| = |\vec{AC}|$
Длина диагонали прямоугольника ABCD со сторонами $AB = 4$ и $BC = 3$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABC:
$|\vec{AC}| = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Это значение также дано в условии задачи.
Ответ: 5

б) Чтобы найти модуль суммы векторов $|\vec{AO} + \vec{BO}|$, воспользуемся свойствами диагоналей прямоугольника. Диагонали прямоугольника в точке пересечения O делятся пополам, и $AC = BD$. Отсюда следует, что $AO = OC = BO = OD$.
Рассмотрим векторы. Вектор $\vec{BO}$ (направленный из B в O) и вектор $\vec{OD}$ (направленный из O в D) сонаправлены и равны по длине, так как O - середина BD. Таким образом, $\vec{BO} = \vec{OD}$.
Заменим в искомой сумме вектор $\vec{BO}$ на равный ему вектор $\vec{OD}$:
$\vec{AO} + \vec{BO} = \vec{AO} + \vec{OD}$
По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма $\vec{AO} + \vec{OD}$ равна вектору $\vec{AD}$:
$\vec{AO} + \vec{OD} = \vec{AD}$
Следовательно, $|\vec{AO} + \vec{BO}| = |\vec{AD}|$.
Длина стороны AD равна длине противоположной стороны BC, то есть $AD = BC = 3$.
Ответ: 3

в) Чтобы найти модуль суммы векторов $|\vec{OB} + \vec{OC}|$, снова используем свойство точки пересечения диагоналей. Точка O является серединой диагонали AC, поэтому вектор $\vec{OC}$ (из O в C) равен вектору $\vec{AO}$ (из A в O), так как они сонаправлены и равны по длине.
$\vec{OC} = \vec{AO}$
Подставим это в искомую сумму:
$\vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{AO}$
Поменяем слагаемые местами (сложение векторов коммутативно):
$\vec{AO} + \vec{OB}$
По правилу треугольника, примененному к треугольнику AOB, эта сумма равна вектору $\vec{AB}$:
$\vec{AO} + \vec{OB} = \vec{AB}$
Следовательно, $|\vec{OB} + \vec{OC}| = |\vec{AB}|$.
Длина стороны AB дана в условии и равна 4.
Ответ: 4

г) Чтобы найти модуль суммы векторов $|\vec{AC} + \vec{BD}|$, выразим векторы диагоналей через векторы сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.
Из правила параллелограмма: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
Рассмотрим треугольник ABD. По правилу сложения векторов: $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$. Отсюда можно выразить вектор $\vec{BD}$:
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$
Теперь сложим векторные выражения для $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:
$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AD} - \vec{AB})$
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{AB} = 2\vec{AD}$
Модуль этой суммы равен:
$|\vec{AC} + \vec{BD}| = |2\vec{AD}| = 2 \cdot |\vec{AD}|$
Длина вектора $\vec{AD}$ равна длине стороны AD, которая равна стороне BC. $AD = BC = 3$.
$|\vec{AC} + \vec{BD}| = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6