Номер 74, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

74. Диагонали AC и BD ромба ABCD равны соответственно 14 и 10 и пересекаются в точке O. Найдите длину вектора:

а) $\vec{AB} - \vec{AD}$;

б) $\vec{AB} - \vec{BC}$;

в) $2\vec{AB} - \vec{AC}$;

г) $\vec{BC} - \vec{OC}$.

По условию задачи дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC = 14$ и $BD = 10$. Диагонали пересекаются в точке $O$.

Основные свойства ромба, которые мы будем использовать:
1. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам. Это значит, что $AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7$ и $BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
2. Противоположные стороны ромба параллельны и равны, поэтому соответствующие векторы равны: $\vec{AD} = \vec{BC}$ и $\vec{AB} = \vec{DC}$.
3. Векторы, исходящие из одной вершины, складываются по правилу параллелограмма. Например, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

а) $\vec{AB} - \vec{AD}$
Для векторов, выходящих из одной точки (в данном случае из точки A), их разность $\vec{a} - \vec{b}$ представляет собой вектор, соединяющий конец вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$. Таким образом, вектор $\vec{AB} - \vec{AD}$ — это вектор, идущий из точки D в точку B, то есть вектор $\vec{DB}$. Длина вектора $\vec{DB}$ равна длине диагонали $BD$. $|\vec{AB} - \vec{AD}| = |\vec{DB}| = |BD| = 10$.
Ответ: 10.

б) $\vec{AB} - \vec{BC}$
В ромбе $ABCD$ векторы противоположных сторон $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ равны. Заменим в выражении вектор $\vec{BC}$ на равный ему вектор $\vec{AD}$: $\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{AB} - \vec{AD}$. Это выражение идентично тому, что было в пункте (а). Следовательно, $\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{DB}$. Длина этого вектора равна длине диагонали $BD$. $|\vec{AB} - \vec{BC}| = |\vec{DB}| = 10$.
Ответ: 10.

в) $2\vec{AB} - \vec{AC}$
Согласно правилу параллелограмма для сложения векторов, выходящих из вершины $A$ ромба, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равна вектору диагонали $\vec{AC}$. $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Подставим это выражение в заданное: $2\vec{AB} - \vec{AC} = 2\vec{AB} - (\vec{AB} + \vec{AD}) = 2\vec{AB} - \vec{AB} - \vec{AD} = \vec{AB} - \vec{AD}$. Мы вновь получили выражение из пункта (а). $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$. Длина искомого вектора равна длине диагонали $BD$. $|2\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{DB}| = 10$.
Ответ: 10.

г) $\vec{BC} - \vec{OC}$
Вычитание вектора $\vec{OC}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $-\vec{OC}$, который равен вектору $\vec{CO}$. $\vec{BC} - \vec{OC} = \vec{BC} + \vec{CO}$. По правилу треугольника (правило Шаля) для сложения векторов, где начало второго вектора совпадает с концом первого: $\vec{BC} + \vec{CO} = \vec{BO}$. Следовательно, нам нужно найти длину вектора $\vec{BO}$. Длина вектора $\vec{BO}$ равна длине отрезка $BO$, который является половиной диагонали $BD$. $|\vec{BO}| = |BO| = \frac{1}{2} |BD| = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: 5.