Номер 75, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Повторение курса геометрии для 7—9 классов - номер 75, страница 17.

Условия.

75. Диагонали правильного шестиугольника ABCDEF, стороны которого равны 1, пересекаются в точке O. Найдите длину вектора:

а) $\vec{AO} - \vec{CD}$

б) $\vec{AE} - \vec{OE}$

в) $\vec{AO} - \vec{FE}$

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника. Правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром в точке $O$ и стороной, равной 1, состоит из шести равносторонних треугольников ($\triangle AOB, \triangle BOC$ и т.д.). Из этого следует, что расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны, то есть $|OA| = |OB| = |OC| = |OD| = |OE| = |OF| = |AB| = 1$. Также в правильном шестиугольнике есть пары равных и сонаправленных векторов.

а) $\vec{AO} - \vec{CD}$

Рассмотрим четырехугольник $BCDO$. Так как $|OB|=|BC|=|CD|=|DO|=1$, он является ромбом. В ромбе противоположные стороны параллельны, поэтому вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BO}$.

Заменим в исходном выражении вектор $\vec{CD}$ на равный ему вектор $\vec{BO}$:

$|\vec{AO} - \vec{CD}| = |\vec{AO} - \vec{BO}|$

Вычитание вектора $\vec{BO}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{OB}$:

$|\vec{AO} - \vec{BO}| = |\vec{AO} + \vec{OB}|$

По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов $\vec{AO}$ и $\vec{OB}$ есть вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AO} + \vec{OB} = \vec{AB}$

Следовательно, нам нужно найти длину вектора $\vec{AB}$:

$|\vec{AO} - \vec{CD}| = |\vec{AB}|$

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине стороны шестиугольника, которая по условию равна 1.

Ответ: 1.

б) $\vec{AE} - \vec{OE}$

Рассмотрим разность векторов $\vec{AE} - \vec{OE}$. Вычитание вектора $\vec{OE}$ эквивалентно прибавлению вектора $\vec{EO}$:

$|\vec{AE} - \vec{OE}| = |\vec{AE} + \vec{EO}|$

По правилу сложения векторов, если начало второго вектора совпадает с концом первого, их сумма — это вектор, идущий из начала первого в конец второго. Таким образом:

$\vec{AE} + \vec{EO} = \vec{AO}$

Следовательно, искомая величина равна длине вектора $\vec{AO}$:

$|\vec{AE} - \vec{OE}| = |\vec{AO}|$

Длина вектора $\vec{AO}$ — это расстояние от вершины до центра правильного шестиугольника, которое равно длине его стороны. По условию, сторона равна 1.

Ответ: 1.

в) $\vec{AO} - \vec{FE}$

Рассмотрим векторы $\vec{AO}$ и $\vec{FE}$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ четырехугольник $AFEO$ является параллелограммом (и даже ромбом, так как $|AF|=|FE|=|EO|=|OA|=1$). В параллелограмме векторы, образуемые противоположными сторонами, равны. Следовательно, вектор $\vec{FE}$ равен вектору $\vec{AO}$.

$\vec{FE} = \vec{AO}$

Подставим это в искомое выражение:

$|\vec{AO} - \vec{FE}| = |\vec{AO} - \vec{AO}|$

Разность одинаковых векторов дает нулевой вектор $\vec{0}$:

$|\vec{AO} - \vec{AO}| = |\vec{0}|$

Длина (модуль) нулевого вектора равна нулю.

Ответ: 0.