Страница 19 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

79. Найдите координаты середины отрезка AB, если:

а) $A(-2; 1)$, $B(6; 5)$;

б) $A(4; -3)$, $B(2; 1)$;

в) $A(7; 5)$, $B(-5; -3)$.

Для нахождения координат середины отрезка, необходимо найти среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Если концы отрезка AB заданы координатами $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, то координаты его середины $C(x_C; y_C)$ вычисляются по формулам:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Применим эти формулы для каждого случая.

а) Даны точки A(-2; 1) и B(6; 5).
Находим координату x середины отрезка:
$x_C = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Находим координату y середины отрезка:
$y_C = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Координаты середины отрезка AB: (2; 3).
Ответ: (2; 3).

б) Даны точки A(4; -3) и B(2; 1).
Находим координату x середины отрезка:
$x_C = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Находим координату y середины отрезка:
$y_C = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Координаты середины отрезка AB: (3; -1).
Ответ: (3; -1).

в) Даны точки A(7; 5) и B(-5; -3).
Находим координату x середины отрезка:
$x_C = \frac{7 + (-5)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Находим координату y середины отрезка:
$y_C = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Координаты середины отрезка AB: (1; 1).
Ответ: (1; 1).

80. Точки $O(0; 0)$, $A(6; 2)$, $C(0; 6)$ и $B$ являются вершинами параллелограмма $OABC$. Найдите координаты точки $B$.

Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма, зная три другие, можно использовать два основных способа: через векторы или через свойства диагоналей.

Способ 1: Использование векторов

В параллелограмме OABC противоположные стороны параллельны и равны. Это означает, что векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Например, $\vec{OA} = \vec{CB}$ и $\vec{OC} = \vec{AB}$. Также, по правилу параллелограмма для сложения векторов, выходящих из одной вершины, верно равенство: $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}$. Воспользуемся последним свойством.

Даны координаты точек: $O(0; 0)$, $A(6; 2)$ и $C(0; 6)$. Пусть искомая точка $B$ имеет координаты $(x; y)$.

1. Найдем координаты векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала.

Координаты вектора $\vec{OA}$ равны $(6 - 0; 2 - 0) = (6; 2)$.

Координаты вектора $\vec{OC}$ равны $(0 - 0; 6 - 0) = (0; 6)$.

2. Сложим векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ для получения координат вектора $\vec{OB}$. Сложение векторов производится путем сложения их соответствующих координат.

$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC} = (6 + 0; 2 + 6) = (6; 8)$.

3. Координаты вектора $\vec{OB}$, идущего из начала координат $O(0;0)$ в точку $B(x;y)$, равны координатам точки $B$.

Следовательно, координаты точки $B$ равны $(6; 8)$.

Ответ: B(6; 8).

Способ 2: Использование свойства диагоналей

Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. В параллелограмме OABC диагоналями являются отрезки OB и AC. Это значит, что их середины совпадают.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находятся по формуле: $(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2})$.

1. Найдем координаты середины диагонали AC, используя точки $A(6; 2)$ и $C(0; 6)$. Пусть это будет точка M.

$x_M = \frac{6 + 0}{2} = 3$

$y_M = \frac{2 + 6}{2} = 4$

Таким образом, середина диагонали AC имеет координаты M(3; 4).

2. Точка M также является серединой диагонали OB. Пусть точка $B$ имеет координаты $(x; y)$. Используя точки $O(0; 0)$ и $B(x; y)$, запишем координаты их середины:

$x_M = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$

$y_M = \frac{0 + y}{2} = \frac{y}{2}$

3. Приравняем координаты середины, найденные двумя способами, чтобы найти $x$ и $y$.

$\frac{x}{2} = 3 \implies x = 2 \cdot 3 = 6$

$\frac{y}{2} = 4 \implies y = 2 \cdot 4 = 8$

Следовательно, координаты точки $B$ равны $(6; 8)$.

Ответ: B(6; 8).

81. Точки $O(0; 0)$, $A(8; 2)$, $B(10; 8)$, $C(2; 6)$ являются вершинами параллелограмма. Найдите координаты точки $P$ пересечения его диагоналей.

По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что точка пересечения диагоналей $P$ является серединой каждой из них.

В параллелограмме, заданном вершинами O(0; 0), A(8; 2), B(10; 8) и C(2; 6), диагоналями являются отрезки, соединяющие противолежащие вершины. Такими парами вершин являются O и B, а также A и C. Следовательно, диагонали параллелограмма — это отрезки OB и AC.

Чтобы найти координаты точки $P$, достаточно найти координаты середины любой из диагоналей. Возьмем, к примеру, диагональ OB. Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам:

$x_P = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_P = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Подставим координаты точек O(0; 0) и B(10; 8):

$x_P = \frac{0 + 10}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_P = \frac{0 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей $P$ равны (5; 4).

Для проверки можно найти координаты середины диагонали AC с концами в точках A(8; 2) и C(2; 6):

$x_P = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_P = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Результаты совпадают, что подтверждает правильность решения.

Ответ: P(5; 4)

82. Найдите расстояние между точками:

а) $A_1(2; 1)$ и $A_2(1; -1)$;

б) $B_1(4; 3)$ и $B_2(-1; 3)$.

Для нахождения расстояния $d$ между двумя точками на плоскости с координатами A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$) используется формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

а) Найдем расстояние между точками A₁(2; 1) и A₂(1; -1).

В этом случае имеем: $x_1 = 2$, $y_1 = 1$ и $x_2 = 1$, $y_2 = -1$.

Подставим значения координат в формулу:

$d(A_1, A_2) = \sqrt{(1 - 2)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

б) Найдем расстояние между точками B₁(4; 3) и B₂(-1; 3).

В этом случае имеем: $x_1 = 4$, $y_1 = 3$ и $x_2 = -1$, $y_2 = 3$.

Подставим значения координат в формулу:

$d(B_1, B_2) = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 0} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5.

83. Найдите расстояние от точки $A(3; 2)$ до оси:

а) $Ox$;

б) $Oy$.

Чтобы найти расстояние от точки до координатных осей, нужно рассмотреть её координаты. Для точки $A(x; y)$ в декартовой системе координат:

• расстояние до оси абсцисс ($Ox$) равно модулю её ординаты (координаты $y$);
• расстояние до оси ординат ($Oy$) равно модулю её абсциссы (координаты $x$).

В нашей задаче дана точка $A(3; 2)$, где абсцисса $x = 3$, а ордината $y = 2$.

а) Ox
Расстояние от точки $A(3; 2)$ до оси $Ox$ равно модулю её ординаты. Ордината точки $A$ равна 2. Следовательно, расстояние до оси $Ox$ составляет $|2| = 2$. Геометрически, это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A(3; 2)$ на ось $Ox$, который попадает в точку с координатами $(3; 0)$.
Ответ: 2

б) Oy
Расстояние от точки $A(3; 2)$ до оси $Oy$ равно модулю её абсциссы. Абсцисса точки $A$ равна 3. Следовательно, расстояние до оси $Oy$ составляет $|3| = 3$. Геометрически, это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A(3; 2)$ на ось $Oy$, который попадает в точку с координатами $(0; 2)$.
Ответ: 3

84. Какая из точек $A (1; 2)$ или $B (1; -2)$ лежит ближе к началу координат?

Чтобы определить, какая из точек, A(1; 2) или B(1; -2), лежит ближе к началу координат, необходимо вычислить расстояние от каждой из этих точек до начала координат O(0; 0) и сравнить полученные значения.

Расстояние $d$ между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ на плоскости вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Найдем расстояние от начала координат до точки A(1; 2):

Подставим в формулу координаты точек O(0; 0) и A(1; 2):

$|OA| = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Найдем расстояние от начала координат до точки B(1; -2):

Подставим в формулу координаты точек O(0; 0) и B(1; -2):

$|OB| = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Сравнение расстояний:

Расстояние от точки A до начала координат равно $\sqrt{5}$. Расстояние от точки B до начала координат также равно $\sqrt{5}$.

Так как $|OA| = |OB|$, обе точки находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

Ответ: Точки A(1; 2) и B(1; -2) находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

85. Найдите координаты центра C и радиус R окружности, заданной уравнением:

а) $(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 16$;

б) $x^2 + (y - 3)^2 = 9$.

а) Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где точка C с координатами $(x_0, y_0)$ является центром окружности, а $R$ — её радиус.

Рассмотрим данное уравнение: $(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 16$.

Чтобы привести его к стандартному виду, представим $(x + 5)^2$ как $(x - (-5))^2$, а $16$ как $4^2$.

Получим уравнение: $(x - (-5))^2 + (y - 2)^2 = 4^2$.

Сравнивая это уравнение со стандартным, мы можем определить координаты центра и радиус.

Координаты центра C: $x_0 = -5$, $y_0 = 2$.

Радиус R: $R^2 = 16$, следовательно, $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: C$(-5; 2)$, $R = 4$.

б) Рассмотрим уравнение: $x^2 + (y - 3)^2 = 9$.

Приведём его к стандартному виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Выражение $x^2$ можно записать как $(x - 0)^2$, а $9$ как $3^2$.

Уравнение примет вид: $(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 3^2$.

Сравнивая это уравнение со стандартным, находим координаты центра и радиус.

Координаты центра C: $x_0 = 0$, $y_0 = 3$.

Радиус R: $R^2 = 9$, следовательно, $R = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: C$(0; 3)$, $R = 3$.

86. Напишите уравнение окружности:

а) с центром в точке $O(0; 0)$ и радиусом 1;

б) с центром в точке $C(-2; 1)$ и радиусом 3.

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0; y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

а) По условию, центр окружности находится в точке $O(0; 0)$, а радиус $r = 1$. Подставим эти значения в общую формулу уравнения окружности.

Координаты центра: $x_0 = 0$, $y_0 = 0$.

Радиус: $r = 1$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1^2$

Упрощая, получаем:

$x^2 + y^2 = 1$

Ответ: $x^2 + y^2 = 1$

б) По условию, центр окружности находится в точке $C(-2; 1)$, а радиус $r = 3$. Снова подставим эти значения в общую формулу.

Координаты центра: $x_0 = -2$, $y_0 = 1$.

Радиус: $r = 3$.

Уравнение принимает вид:

$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 3^2$

Упрощая, получаем:

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

радиусом $1$, б) с центром в точке $C(-2; 1)$ и радиусом $3$.

87. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку $A(3; 3)$.

Стандартное уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ выглядит следующим образом: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Согласно условию задачи, центр окружности находится в начале координат, то есть в точке O(0, 0). Подставив эти значения в стандартное уравнение, получаем уравнение для нашей окружности: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = R^2$, что упрощается до $x^2 + y^2 = R^2$.

Нам известно, что окружность проходит через точку A(3; 3). Это означает, что расстояние от центра окружности до этой точки равно радиусу $R$. Также это означает, что координаты точки A должны удовлетворять уравнению нашей окружности. Мы можем найти квадрат радиуса $R^2$, подставив координаты точки A($x=3$, $y=3$) в полученное уравнение:

$3^2 + 3^2 = R^2$

$9 + 9 = R^2$

$R^2 = 18$

Теперь, зная квадрат радиуса, мы можем записать окончательное уравнение окружности, подставив значение $R^2 = 18$ в уравнение $x^2 + y^2 = R^2$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 18$

88. Докажите, что уравнение:

a) $x^2 - 8x + y^2 = 0$;

б) $x^2 + 2x + y^2 - 6y + 4 = 0$ задает окружность. Найдите ее радиус и координаты центра.

а) Чтобы доказать, что уравнение $x^2 - 8x + y^2 = 0$ задает окружность, необходимо привести его к каноническому виду уравнения окружности: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.
Для этого выделим полный квадрат для переменной $x$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$:
$(x^2 - 8x) + y^2 = 0$
Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$, а $-2ab = -8x$, значит $b=4$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и отнять $b^2 = 4^2 = 16$:
$(x^2 - 8x + 16) - 16 + y^2 = 0$
Теперь свернем выражение в скобках в полный квадрат и перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$(x - 4)^2 + y^2 = 16$
Это уравнение является каноническим уравнением окружности. Сравнивая его с общей формой $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, мы можем определить координаты центра и радиус.
Центр окружности имеет координаты $(x_0, y_0)$. В нашем случае $x_0 = 4$ и $y_0 = 0$. Таким образом, центр находится в точке $(4, 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 16$, следовательно, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.
Поскольку мы смогли привести исходное уравнение к каноническому виду окружности с действительным положительным радиусом, доказано, что оно задает окружность.
Ответ: уравнение задает окружность с центром в точке $(4, 0)$ и радиусом $R = 4$.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 + 2x + y^2 - 6y + 4 = 0$. Аналогично предыдущему пункту, приведем его к каноническому виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$:
$(x^2 + 2x) + (y^2 - 6y) + 4 = 0$
Выделим полный квадрат для группы с $x$. Используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, $2ab=2x$, значит $b=1$. Добавим и вычтем $b^2 = 1^2 = 1$:
$(x^2 + 2x + 1) - 1$
Выделим полный квадрат для группы с $y$. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=y$, $-2ab=-6y$, значит $b=3$. Добавим и вычтем $b^2 = 3^2 = 9$:
$(y^2 - 6y + 9) - 9$
Подставим эти выражения обратно в уравнение:
$((x^2 + 2x + 1) - 1) + ((y^2 - 6y + 9) - 9) + 4 = 0$
Свернем полные квадраты и объединим свободные члены:
$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 1 - 9 + 4 = 0$
$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 6 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 6$
Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности. Сравним его с $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Центр окружности: $x_0 = -1$, $y_0 = 3$. Координаты центра: $(-1, 3)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 6$, следовательно, радиус $R = \sqrt{6}$.
Таким образом, доказано, что уравнение задает окружность.
Ответ: уравнение задает окружность с центром в точке $(-1, 3)$ и радиусом $R = \sqrt{6}$.

89. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a_1}(2; -1)$ и $\vec{a_2}(-1; 2)$.

Для того чтобы найти скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, необходимо перемножить их соответствующие координаты и сложить полученные произведения.

Формула для скалярного произведения векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ имеет вид:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

В данном случае нам даны векторы $\vec{a_1}(2; -1)$ и $\vec{a_2}(-1; 2)$.

Координаты первого вектора: $x_1 = 2$, $y_1 = -1$.

Координаты второго вектора: $x_2 = -1$, $y_2 = 2$.

Подставим эти значения в формулу:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2$

Теперь выполним вычисления:

$2 \cdot (-1) = -2$

$(-1) \cdot 2 = -2$

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = -2 + (-2) = -2 - 2 = -4$

Ответ: -4

90. Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями:

а) $2x + y - 1 = 0$, $x - 2y + 3 = 0$;

б) $x + y + 1 = 0$, $x - y - 1 = 0$.

а) Угол $\phi$ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$. Косинус этого угла можно найти по формуле:
$\cos \phi = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$
Для первой прямой $2x + y - 1 = 0$ имеем коэффициенты $A_1 = 2, B_1 = 1$. Нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, 1)$.
Для второй прямой $x - 2y + 3 = 0$ имеем коэффициенты $A_2 = 1, B_2 = -2$. Нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, -2)$.
Найдем скалярное произведение нормальных векторов:
$A_1 A_2 + B_1 B_2 = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 2 - 2 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, то нормальные векторы перпендикулярны. Следовательно, и прямые, которым они принадлежат, также перпендикулярны. Угол между ними составляет $90^\circ$.
Другой способ — через угловые коэффициенты. Уравнение прямой в виде $y=kx+b$, где $k$ — угловой коэффициент.
Для первой прямой: $y = -2x + 1$, следовательно $k_1 = -2$.
Для второй прямой: $2y = x + 3 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$, следовательно $k_2 = \frac{1}{2}$.
Условие перпендикулярности двух прямых: $k_1 \cdot k_2 = -1$.
Проверим: $k_1 \cdot k_2 = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$. Условие выполняется, значит, прямые перпендикулярны.
Ответ: $90^\circ$.

б) Аналогично пункту а), найдем нормальные векторы для данных прямых.
Для прямой $x + y + 1 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1)$.
Для прямой $x - y - 1 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, -1)$.
Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0$.
Скалярное произведение равно нулю, значит, векторы перпендикулярны, и угол между прямыми равен $90^\circ$.
Проверим через угловые коэффициенты.
Для первой прямой: $y = -x - 1$, следовательно $k_1 = -1$.
Для второй прямой: $y = x - 1$, следовательно $k_2 = 1$.
Проверим условие перпендикулярности $k_1 \cdot k_2 = -1$:
$k_1 \cdot k_2 = -1 \cdot 1 = -1$. Условие выполняется, прямые перпендикулярны.
Ответ: $90^\circ$.

91. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A_0(2; 1)$ с вектором нормали $\vec{n}(1; -1).$

Уравнение прямой, которая проходит через точку $A_0(x_0; y_0)$ и имеет вектор нормали $\vec{n}(A; B)$, можно записать в виде:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

В данной задаче нам известны:

Координаты точки $A_0(2; 1)$, то есть $x_0 = 2$ и $y_0 = 1$.

Координаты вектора нормали $\vec{n}(1; -1)$, то есть $A = 1$ и $B = -1$.

Подставим эти значения в формулу уравнения прямой:

$1 \cdot (x - 2) + (-1) \cdot (y - 1) = 0$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$x - 2 - y + 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x - y - 1 = 0$

Это и есть искомое уравнение прямой.

Ответ: $x - y - 1 = 0$.

92. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки $M(-1; 3)$, $N(1; 4)$. Найдите координаты вектора нормали этой прямой.

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки M(-1; 3), N (1; 4)

Для составления уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки с координатами $M(x_1; y_1)$ и $N(x_2; y_2)$, используется каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим в эту формулу координаты данных точек $M(-1; 3)$ и $N(1; 4)$:

$x_1 = -1$, $y_1 = 3$

$x_2 = 1$, $y_2 = 4$

$\frac{x - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{y - 3}{4 - 3}$

Выполним вычисления в знаменателях:

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{1}$

Это каноническое уравнение прямой. Для получения общего уравнения прямой вида $Ax + By + C = 0$, преобразуем полученное уравнение, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$1 \cdot (x + 1) = 2 \cdot (y - 3)$

$x + 1 = 2y - 6$

Теперь перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$x - 2y + 1 + 6 = 0$

$x - 2y + 7 = 0$

Ответ: Уравнение прямой: $x - 2y + 7 = 0$.

Найдите координаты вектора нормали этой прямой

Вектор нормали $\vec{n}$ (или нормальный вектор) к прямой — это любой ненулевой вектор, который перпендикулярен данной прямой.

Для прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$, вектор с координатами $\vec{n} = (A; B)$ является её вектором нормали.

В нашем случае общее уравнение прямой имеет вид:

$1 \cdot x - 2 \cdot y + 7 = 0$

Отсюда мы можем определить коэффициенты $A$ и $B$:

$A = 1$

$B = -2$

Таким образом, координаты вектора нормали к этой прямой равны $(1; -2)$.

Ответ: Координаты вектора нормали: $(1; -2)$.

93. Определите, какие из перечисленных ниже пар прямых:

а) параллельны;

б) перпендикулярны:

1) $x + y - 2 = 0, x + y + 3 = 0;$

2) $x + y - 2 = 0, x - y - 3 = 0;$

3) $-7x + y = 0, 7x - y + 4 = 0;$

4) $4x - 2y - 8 = 0, -x - 2y + 4 = 0.$

Для определения взаимного расположения прямых, заданных общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, применяются следующие критерии.
Прямые параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ коллинеарны, что выражается в пропорциональности коэффициентов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$. Чтобы прямые не совпадали, это отношение не должно быть равно отношению свободных членов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.
Прямые перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.
Проанализируем каждую из заданных пар прямых.

1) $x + y - 2 = 0$ и $x + y + 3 = 0$.
Здесь $A_1 = 1, B_1 = 1, C_1 = -2$ и $A_2 = 1, B_2 = 1, C_2 = 3$.
Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$ и $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{1} = 1$.
Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$, прямые параллельны. Проверим отношение свободных членов: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-2}{3}$.
Поскольку $1 \neq -\frac{2}{3}$, прямые являются параллельными и не совпадают.

2) $x + y - 2 = 0$ и $x - y - 3 = 0$.
Здесь $A_1 = 1, B_1 = 1$ и $A_2 = 1, B_2 = -1$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0$.
Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

3) $-7x + y = 0$ и $7x - y + 4 = 0$.
Здесь $A_1 = -7, B_1 = 1, C_1 = 0$ и $A_2 = 7, B_2 = -1, C_2 = 4$.
Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{-7}{7} = -1$ и $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{-1} = -1$.
Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$, прямые параллельны. Проверим отношение свободных членов: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{0}{4} = 0$.
Поскольку $-1 \neq 0$, прямые являются параллельными и не совпадают.

4) $4x - 2y - 8 = 0$ и $-x - 2y + 4 = 0$.
Здесь $A_1 = 4, B_1 = -2$ и $A_2 = -1, B_2 = -2$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) = -4 + 4 = 0$.
Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

а) параллельны;
На основании проведенного анализа, параллельными являются пары прямых, рассмотренные в пунктах 1 и 3.
Ответ: 1, 3.

б) перпендикулярны:
На основании проведенного анализа, перпендикулярными являются пары прямых, рассмотренные в пунктах 2 и 4.
Ответ: 2, 4.

94. Найдите координаты точки пересечения прямых:

а) $x - y - 1 = 0$, $x + y + 3 = 0$;

б) $x - 3y + 2 = 0$, $2x - 5y + 1 = 0$.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений, задающих эти прямые. Координаты $x$ и $y$ точки пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y - 1 = 0 \\ x + y + 3 = 0 \end{cases} $

Для решения системы используем метод сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(x - y - 1) + (x + y + 3) = 0 + 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x + 2 = 0$

$2x = -2$

$x = -1$

Теперь подставим найденное значение $x = -1$ в любое из исходных уравнений, например, во второе, чтобы найти $y$:

$(-1) + y + 3 = 0$

$y + 2 = 0$

$y = -2$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-1, -2)$.

Ответ: $(-1, -2)$

б) Аналогично, найдем точку пересечения для второй пары прямых, решив систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 3y + 2 = 0 \\ 2x - 5y + 1 = 0 \end{cases} $

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 3y - 2$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$2(3y - 2) - 5y + 1 = 0$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$6y - 4 - 5y + 1 = 0$

$y - 3 = 0$

$y = 3$

Подставим найденное значение $y = 3$ в выражение для $x$:

$x = 3(3) - 2$

$x = 9 - 2$

$x = 7$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(7, 3)$.

Ответ: $(7, 3)$

95. Даны векторы $\vec{a}(-1; 2)$ и $\vec{b}(2; -4)$. Найдите координаты вектора $3\vec{a} - 2\vec{b}$.

Чтобы найти координаты вектора $3\vec{a} - 2\vec{b}$, нужно сначала найти координаты векторов $3\vec{a}$ и $2\vec{b}$, а затем выполнить вычитание векторов.

1. Найдем координаты вектора $3\vec{a}$.
Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{a}(-1; 2)$ на число 3:
$3\vec{a} = (3 \cdot (-1); 3 \cdot 2) = (-3; 6)$.

2. Найдем координаты вектора $2\vec{b}$.
Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{b}(2; -4)$ на число 2:
$2\vec{b} = (2 \cdot 2; 2 \cdot (-4)) = (4; -8)$.

3. Найдем разность векторов $3\vec{a}$ и $2\vec{b}$.
Для этого вычтем из координат вектора $3\vec{a}$ соответствующие координаты вектора $2\vec{b}$:
$3\vec{a} - 2\vec{b} = (-3 - 4; 6 - (-8)) = (-7; 6 + 8) = (-7; 14)$.

Ответ: $(-7; 14)$.

..., -2) = 7.

96. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a}_1(1; 3) $ и $ \vec{a}_2(3; -1) $.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$, заданных своими координатами на плоскости, вычисляется по формуле, которая представляет собой сумму произведений их соответствующих координат:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

В нашем случае даны векторы $\vec{a_1}(1; 3)$ и $\vec{a_2}(3; -1)$.

Определим координаты для каждого вектора:

Для вектора $\vec{a_1}$ имеем: $x_1 = 1$, $y_1 = 3$.

Для вектора $\vec{a_2}$ имеем: $x_2 = 3$, $y_2 = -1$.

Теперь подставим эти значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 1 \cdot 3 + 3 \cdot (-1)$

Выполним арифметические действия:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 3 - 3 = 0$

Скалярное произведение данных векторов равно 0. Это означает, что векторы $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$ являются перпендикулярными (ортогональными).

Ответ: 0

97. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a_1}(3; 4)$ и $\vec{a_2}(4; 3)$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{a_1}(x_1; y_1)$ и $\vec{a_2}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле, которая связывает скалярное произведение векторов и их длины (модули):

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}}{|\vec{a_1}| \cdot |\vec{a_2}|}$

Скалярное произведение для векторов на плоскости вычисляется как $\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = x_1x_2 + y_1y_2$, а длина вектора $\vec{a}(x; y)$ вычисляется как $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Для заданных векторов $\vec{a_1}(3; 4)$ и $\vec{a_2}(4; 3)$ выполним следующие шаги:

1. Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 12 + 12 = 24$.

2. Найдем длины каждого вектора:
$|\vec{a_1}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$|\vec{a_2}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

3. Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos(\alpha) = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25}$.

Ответ: $\frac{24}{25}$.