Страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

64. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен $30^\circ$.

Для нахождения площади треугольника, когда известны две его стороны и угол между ними, используется формула $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — длины известных сторон, а $\gamma$ — угол между ними.По условию задачи имеем: $a = 3$ см, $b = 8$ см и $\gamma = 30^\circ$.Подставим эти значения в формулу, учитывая, что значение синуса 30 градусов равно $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.Выполним вычисления:$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$ см$^2$.Ответ: 6 см$^2$.

65. Средняя линия трапеции равна 3, высота равна 2. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции ($S$) вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — это основания трапеции, а $h$ — ее высота.

Средняя линия трапеции ($m$) по определению равна полусумме ее оснований: $m = \frac{a+b}{2}$.

Таким образом, формулу для площади трапеции можно записать через ее среднюю линию и высоту: $S = m \cdot h$.

По условию задачи, средняя линия трапеции равна 3, а высота равна 2.

Подставим известные значения в формулу:

$m = 3$

$h = 2$

$S = 3 \cdot 2 = 6$

Ответ: 6

66. Основания трапеции равны 10 см и 35 см, площадь равна 225 $\text{см}^2$.

Найдите ее высоту.

Площадь трапеции ($S$) вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Из условия задачи известны следующие величины:

- Основание $a = 10$ см;
- Основание $b = 35$ см;
- Площадь $S = 225$ см².

Для того чтобы найти высоту трапеции ($h$), необходимо выразить ее из формулы площади:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$2S = (a+b) \cdot h$

$h = \frac{2S}{a+b}$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу и произведем расчет:

$h = \frac{2 \cdot 225}{10 + 35}$

$h = \frac{450}{45}$

$h = 10$ см.

Ответ: 10 см.

67. Высота трапеции равна 20 см, площадь — $400 \, \text{см}^2$. Найдите среднюю линию трапеции.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади трапеции через ее среднюю линию и высоту. Площадь трапеции ($S$) равна произведению ее средней линии ($m$) на высоту ($h$).

Формула площади трапеции: $S = m \cdot h$.

Стандартная формула площади трапеции выглядит так: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований. Средняя линия трапеции по определению равна полусумме оснований: $m = \frac{a+b}{2}$. Подставив это в формулу площади, мы и получаем $S = m \cdot h$.

В условии задачи нам даны следующие значения:

Высота $h = 20$ см.

Площадь $S = 400$ см².

Нам необходимо найти среднюю линию $m$. Выразим ее из формулы площади:

$m = \frac{S}{h}$

Теперь подставим известные значения в формулу:

$m = \frac{400 \text{ см}^2}{20 \text{ см}}$

$m = 20$ см

Ответ: 20 см.

68. Площадь трапеции равна 200 $см^2$. Одно основание равно 26 см, высота равна 10 см. Найдите второе основание трапеции.

Для решения этой задачи используется формула площади трапеции:

$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

где $S$ — площадь, $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

По условию нам даны следующие значения:

Площадь $S = 200$ см².

Одно из оснований, пусть будет $a$, равно $26$ см.

Высота $h = 10$ см.

Необходимо найти второе основание $b$.

Подставим известные значения в формулу площади:

$200 = \frac{26 + b}{2} \cdot 10$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$. Для начала, разделим обе части уравнения на 10:

$\frac{200}{10} = \frac{26 + b}{2}$

$20 = \frac{26 + b}{2}$

Далее, умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму оснований:

$20 \cdot 2 = 26 + b$

$40 = 26 + b$

Наконец, чтобы найти $b$, вычтем 26 из 40:

$b = 40 - 26$

$b = 14$

Таким образом, второе основание трапеции равно 14 см.

Ответ: 14 см.

69. Найдите площадь правильного шестиугольника, стороны которого равны 1.

Правильный шестиугольник можно разделить на 6 равных (конгруэнтных) равносторонних треугольников, соединив его вершины с центром. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника.

По условию задачи, сторона правильного шестиугольника $a = 1$. Следовательно, сторона каждого из шести равносторонних треугольников, из которых он состоит, также равна $a = 1$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим в эту формулу значение стороны $a=1$, чтобы найти площадь одного такого треугольника:

$S_{\triangle} = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Площадь всего правильного шестиугольника равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S_{шестиугольника} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{6\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

70. Диагонали выпуклого четырехугольника равны 6 и 8, угол между ними равен $30^\circ$. Найдите площадь этого четырехугольника.

Для нахождения площади выпуклого четырехугольника можно использовать формулу, которая связывает длины его диагоналей и угол между ними. Площадь $S$ любого выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Формула выглядит следующим образом:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

где $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

В соответствии с условиями задачи, у нас есть:

Длина первой диагонали $d_1 = 6$.

Длина второй диагонали $d_2 = 8$.

Угол между диагоналями $\alpha = 30°$.

Из тригонометрии мы знаем, что синус угла $30°$ равен $\frac{1}{2}$:

$\sin(30°) = \frac{1}{2}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для вычисления площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(30°)$

Заменяем $\sin(30°)$ на его значение:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$

Выполняем вычисления:

$S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{1}{2}$

$S = 24 \cdot \frac{1}{2}$

$S = 12$

Следовательно, площадь данного выпуклого четырехугольника составляет 12 квадратных единиц.

Ответ: 12.