Страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

38. Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см, диагонали пересекаются под углом $60^\circ$. Найдите диагонали прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник, меньшая сторона которого равна $a = 5$ см. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

Диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника. Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной и двумя половинами диагоналей. Пусть это будет треугольник $\triangle AOB$, где AB - меньшая сторона прямоугольника, а AO и BO - половины диагоналей. В этом треугольнике $AO = BO$.

При пересечении диагоналей образуются две пары вертикальных углов. Одна пара - острые углы, другая - тупые (если прямоугольник не является квадратом). Сумма смежных углов равна $180^\circ$. По условию, один из углов равен $60^\circ$, значит, смежный с ним угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

В треугольнике напротив меньшей стороны лежит меньший угол. Так как сторона AB является меньшей стороной прямоугольника, то противолежащий ей угол $\angle AOB$ в треугольнике, образованном диагоналями, будет меньшим из двух возможных углов ($60^\circ$ и $120^\circ$). Следовательно, $\angle AOB = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Мы знаем, что он равнобедренный ($AO = BO$) и угол между этими сторонами $\angle AOB = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны:$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - \angle AOB) / 2 = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все три угла в треугольнике $\triangle AOB$ равны $60^\circ$, этот треугольник является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны: $AO = BO = AB$.

По условию задачи, меньшая сторона прямоугольника $AB = 5$ см. Следовательно, половины диагоналей также равны 5 см: $AO = BO = 5$ см.

Длина всей диагонали (например, AC) равна удвоенной длине ее половины (AO):$AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Так как диагонали прямоугольника равны, обе диагонали имеют длину 10 см.

Ответ: 10 см.

39. Найдите диагонали прямоугольника, если его периметр равен 34 см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 30 см.

39. Пусть стороны прямоугольника равны a и b, а его диагональ равна d.

Периметр прямоугольника ($P_{прям}$) вычисляется по формуле $P_{прям} = 2(a + b)$.Из условия задачи известно, что периметр равен 34 см:$2(a + b) = 34$ см.

Из этого уравнения можно найти сумму длин смежных сторон прямоугольника:$a + b = \frac{34}{2} = 17$ см.

Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Стороны такого треугольника — это две стороны прямоугольника (a и b, которые являются катетами) и диагональ (d, которая является гипотенузой).

Периметр одного из этих треугольников ($P_{треуг}$) равен сумме длин его сторон: $P_{треуг} = a + b + d$.По условию, этот периметр равен 30 см:$a + b + d = 30$ см.

Мы уже выяснили, что сумма сторон $a + b$ равна 17 см. Подставим это значение в формулу периметра треугольника:$17 + d = 30$.

Теперь найдем длину диагонали d:$d = 30 - 17 = 13$ см.

В прямоугольнике диагонали равны между собой. Следовательно, длина каждой диагонали прямоугольника составляет 13 см.

Ответ: 13 см.

40. Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма с неравными соседними сторонами при пересечении образуют прямоугольник.

Дано:

ABCD — параллелограмм.
Соседние стороны не равны: $AB \neq BC$.
Проведены биссектрисы углов A, B, C, D.
Пусть K — точка пересечения биссектрис углов A и B,
L — точка пересечения биссектрис углов B и C,
M — точка пересечения биссектрис углов C и D,
N — точка пересечения биссектрис углов D и A.

Доказать:

Четырехугольник KLMN является прямоугольником.

Доказательство:

Для доказательства того, что KLMN является прямоугольником, достаточно показать, что все его внутренние углы равны $90^\circ$.

Рассмотрим угол при вершине K. Этот угол образован пересечением биссектрис углов A и B (назовем их условно AK и BK) и является углом $\angle AKB$ в треугольнике ABK. Сумма углов в треугольнике ABK равна $180^\circ$: $\angle AKB + \angle KAB + \angle KBA = 180^\circ$.

Поскольку AK и BK — биссектрисы, они делят углы параллелограмма A и B пополам: $\angle KAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2}\angle B$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Поэтому $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Теперь найдем величину угла $\angle AKB$: $ \angle AKB = 180^\circ - (\angle KAB + \angle KBA) = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) $.

Подставив значение суммы углов $\angle A + \angle B = 180^\circ$, получаем: $ \angle AKB = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $.

Аналогично находятся и остальные углы четырехугольника KLMN. Рассматривая треугольники BLC, CMD и DNA и используя свойство о сумме соседних углов параллелограмма ($180^\circ$):
Угол L: $\angle BLC = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.
Угол M: $\angle CMD = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D) = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.
Угол N: $\angle DNA = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle D + \angle A) = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.

Так как все углы четырехугольника KLMN ($\angle K, \angle L, \angle M, \angle N$) равны $90^\circ$, то по определению он является прямоугольником.

Условие о неравенстве соседних сторон ($AB \neq BC$) важно, поскольку если бы параллелограмм был ромбом (где $AB = BC$), то его диагонали были бы биссектрисами углов. В этом случае все четыре биссектрисы пересеклись бы в одной точке, и четырехугольник KLMN выродился бы в точку, а не в прямоугольник.

Ответ: Что и требовалось доказать. Четырехугольник, образованный пересечением биссектрис углов параллелограмма с неравными соседними сторонами, является прямоугольником, так как все его углы прямые.

41. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB$ и $CD$ длиной $a$, и сторонами $BC$ и $DA$ длиной $b$. Таким образом, $AB = CD = a$ и $BC = DA = b$. Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Соединив эти точки последовательно, мы получим четырехугольник $KLMN$. Чтобы доказать, что $KLMN$ является ромбом, нам необходимо показать, что все его стороны имеют одинаковую длину, то есть $KL = LM = MN = NK$.

Рассмотрим четыре треугольника, образовавшихся в углах прямоугольника: $\triangle NAK$, $\triangle KBL$, $\triangle MCL$ и $\triangle MDN$. Поскольку углы $A, B, C, D$ прямоугольника прямые, все эти треугольники являются прямоугольными.

Найдем длины катетов этих треугольников. Так как $K, L, M, N$ — середины сторон, то:
$AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$
$BL = LC = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$
$CM = MD = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2}$
$DN = NA = \frac{DA}{2} = \frac{b}{2}$

Следовательно, катеты этих четырех прямоугольных треугольников равны:
$\triangle NAK$ имеет катеты $NA = \frac{b}{2}$ и $AK = \frac{a}{2}$.
$\triangle KBL$ имеет катеты $KB = \frac{a}{2}$ и $BL = \frac{b}{2}$.
$\triangle MCL$ имеет катеты $LC = \frac{b}{2}$ и $CM = \frac{a}{2}$.
$\triangle MDN$ имеет катеты $MD = \frac{a}{2}$ и $DN = \frac{b}{2}$.
Поскольку все четыре треугольника имеют катеты одинаковой длины ($\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2}$), они равны между собой по двум катетам.

Стороны четырехугольника $KLMN$ ($NK, KL, LM, MN$) являются гипотенузами этих равных треугольников. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы также равны. Найдем длину одной из гипотенуз, например $KL$ в треугольнике $\triangle KBL$, используя теорему Пифагора:
$KL^2 = KB^2 + BL^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$
$KL = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$

Так как все треугольники равны, длины всех гипотенуз будут одинаковы:
$KL = LM = MN = NK = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$

Поскольку все четыре стороны четырехугольника $KLMN$ равны, по определению он является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника, — это ромб, так как все его стороны равны как гипотенузы равных прямоугольных треугольников.

42. Чему равны углы равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $40^\circ$?

Пусть дана равнобедренная трапеция. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Обозначим два равных угла при одном основании как $\alpha$, а два равных угла при другом основании — как $\beta$.

Противолежащими углами в такой трапеции являются пара углов $\alpha$ и $\beta$. По условию задачи, разность этих углов равна $40^\circ$. Поскольку в трапеции, не являющейся прямоугольником, один из углов при боковой стороне острый, а другой тупой, то можно записать уравнение:$\beta - \alpha = 40^\circ$ (предполагая, что $\beta$ — тупой угол, а $\alpha$ — острый).

Также одним из свойств трапеции является то, что сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Для нашей трапеции это означает:$\alpha + \beta = 180^\circ$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
1) $\beta - \alpha = 40^\circ$
2) $\beta + \alpha = 180^\circ$

Для решения системы сложим оба уравнения:
$(\beta - \alpha) + (\beta + \alpha) = 40^\circ + 180^\circ$
$2\beta = 220^\circ$
$\beta = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$

Теперь, зная значение $\beta$, найдем $\alpha$ из второго уравнения:
$\alpha + 110^\circ = 180^\circ$
$\alpha = 180^\circ - 110^\circ$
$\alpha = 70^\circ$

Таким образом, в трапеции два угла равны $70^\circ$ и два угла равны $110^\circ$.
Ответ: два угла по $70^\circ$ и два угла по $110^\circ$.

43. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 3 см, отсекает треугольник, периметр которого равен 15 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $BC$ — меньшее основание. По условию, $BC = 3$ см. Пусть $AB$ и $CD$ — боковые стороны трапеции.

Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает большее основание $AD$ в точке $E$. В результате этого построения образуется треугольник $CDE$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCE$. По определению трапеции, основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$, а значит, $BC \parallel AE$. По построению, $CE \parallel AB$. Так как у четырехугольника $ABCE$ противолежащие стороны попарно параллельны, то $ABCE$ — параллелограмм.

Из свойства параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны: $AB = CE$ и $AE = BC = 3$ см.

Периметр трапеции $ABCD$ вычисляется как сумма длин всех ее сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.

Большее основание $AD$ можно представить в виде суммы двух отрезков: $AD = AE + ED$. Подставив значение $AE = 3$ см, получим $AD = 3 + ED$.

Теперь подставим все известные и полученные соотношения в формулу периметра трапеции:$P_{ABCD} = AB + BC + CD + (AE + ED)$$P_{ABCD} = CE + 3 + CD + 3 + ED$

Сгруппируем слагаемые:$P_{ABCD} = (CE + CD + ED) + 3 + 3$$P_{ABCD} = (CE + CD + ED) + 6$

Выражение в скобках $(CE + CD + ED)$ представляет собой периметр треугольника $CDE$. По условию задачи, периметр этого треугольника равен 15 см, то есть $P_{\triangle CDE} = CE + CD + ED = 15$ см.

Подставим это значение в выражение для периметра трапеции:$P_{ABCD} = 15 + 6 = 21$ см.

Ответ: 21 см.

44. Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Найдите отрезки, на которые делит среднюю линию трапеции одна из ее диагоналей.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями $BC$ и $AD$. Согласно условию задачи, длины оснований равны $BC = 4$ см и $AD = 10$ см.

Проведем среднюю линию трапеции $MN$, где точка $M$ является серединой боковой стороны $AB$, а точка $N$ — серединой боковой стороны $CD$. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.

Проведем диагональ $AC$. Она пересечет среднюю линию $MN$ в некоторой точке $K$. Таким образом, средняя линия $MN$ делится на два отрезка: $MK$ и $KN$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MK$ является его частью. Поскольку $M$ — середина стороны $AB$ и $MN \parallel BC$, то и $MK \parallel BC$. По свойству средней линии треугольника, если отрезок проходит через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, то он является средней линией. Следовательно, $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины основания, которому она параллельна. В данном случае:

$MK = \frac{1}{2} BC$

Подставим известное значение $BC = 4$ см:

$MK = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $MK$ — средняя линия в $\triangle ABC$, точка $K$ является серединой диагонали $AC$. Точка $N$ — середина стороны $CD$ по определению средней линии трапеции. Значит, отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AC$ и $CD$ треугольника $ADC$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ADC$.

Длина $KN$ равна половине длины основания $AD$:

$KN = \frac{1}{2} AD$

Подставим известное значение $AD = 10$ см:

$KN = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Таким образом, диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки длиной 2 см и 5 см.

Ответ: 2 см и 5 см.