Номер 41, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

41. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB$ и $CD$ длиной $a$, и сторонами $BC$ и $DA$ длиной $b$. Таким образом, $AB = CD = a$ и $BC = DA = b$. Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Соединив эти точки последовательно, мы получим четырехугольник $KLMN$. Чтобы доказать, что $KLMN$ является ромбом, нам необходимо показать, что все его стороны имеют одинаковую длину, то есть $KL = LM = MN = NK$.

Рассмотрим четыре треугольника, образовавшихся в углах прямоугольника: $\triangle NAK$, $\triangle KBL$, $\triangle MCL$ и $\triangle MDN$. Поскольку углы $A, B, C, D$ прямоугольника прямые, все эти треугольники являются прямоугольными.

Найдем длины катетов этих треугольников. Так как $K, L, M, N$ — середины сторон, то:
$AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$
$BL = LC = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$
$CM = MD = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2}$
$DN = NA = \frac{DA}{2} = \frac{b}{2}$

Следовательно, катеты этих четырех прямоугольных треугольников равны:
$\triangle NAK$ имеет катеты $NA = \frac{b}{2}$ и $AK = \frac{a}{2}$.
$\triangle KBL$ имеет катеты $KB = \frac{a}{2}$ и $BL = \frac{b}{2}$.
$\triangle MCL$ имеет катеты $LC = \frac{b}{2}$ и $CM = \frac{a}{2}$.
$\triangle MDN$ имеет катеты $MD = \frac{a}{2}$ и $DN = \frac{b}{2}$.
Поскольку все четыре треугольника имеют катеты одинаковой длины ($\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2}$), они равны между собой по двум катетам.

Стороны четырехугольника $KLMN$ ($NK, KL, LM, MN$) являются гипотенузами этих равных треугольников. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы также равны. Найдем длину одной из гипотенуз, например $KL$ в треугольнике $\triangle KBL$, используя теорему Пифагора:
$KL^2 = KB^2 + BL^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$
$KL = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$

Так как все треугольники равны, длины всех гипотенуз будут одинаковы:
$KL = LM = MN = NK = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$

Поскольку все четыре стороны четырехугольника $KLMN$ равны, по определению он является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника, — это ромб, так как все его стороны равны как гипотенузы равных прямоугольных треугольников.