Номер 34, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Найдите углы параллелограмма, если сумма двух из них равна:

a) $80^\circ$;

б) $100^\circ$;

в) $160^\circ$.

Для решения этой задачи воспользуемся ключевыми свойствами углов параллелограмма. Во-первых, противоположные углы параллелограмма равны. Во-вторых, сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$.

Пусть в параллелограмме есть два разных угла, $\alpha$ и $\beta$. Тогда два угла равны $\alpha$, а два других — $\beta$, причём $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Сумма двух любых углов параллелограмма может быть либо суммой прилежащих углов ($\alpha + \beta = 180^\circ$), либо суммой противолежащих углов ($2\alpha$ или $2\beta$). Поскольку в условии задачи все указанные суммы ($80^\circ, 100^\circ, 160^\circ$) не равны $180^\circ$, следовательно, речь идёт о сумме двух равных противолежащих углов.

а) Сумма двух углов равна $80^\circ$. Пусть это два равных противолежащих угла, каждый из которых равен $\alpha$.

$2\alpha = 80^\circ$

Находим $\alpha$: $\alpha = 80^\circ / 2 = 40^\circ$.

Итак, два угла параллелограмма равны по $40^\circ$. Другая пара углов, обозначим их $\beta$, является смежной к углам $\alpha$. Их величину найдем из свойства суммы прилежащих углов:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Таким образом, два других угла равны по $140^\circ$.
Ответ: два угла по $40^\circ$ и два угла по $140^\circ$.

б) Сумма двух углов равна $100^\circ$. Аналогично, это сумма двух равных противолежащих углов. Пусть каждый из них равен $\alpha$.

$2\alpha = 100^\circ$

Находим $\alpha$: $\alpha = 100^\circ / 2 = 50^\circ$.

Итак, два угла параллелограмма равны по $50^\circ$. Находим вторую пару углов $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Таким образом, два других угла равны по $130^\circ$.
Ответ: два угла по $50^\circ$ и два угла по $130^\circ$.

в) Сумма двух углов равна $160^\circ$. Это также сумма двух равных противолежащих углов. Пусть каждый из них равен $\alpha$.

$2\alpha = 160^\circ$

Находим $\alpha$: $\alpha = 160^\circ / 2 = 80^\circ$.

Итак, два угла параллелограмма равны по $80^\circ$. Находим вторую пару углов $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Таким образом, два других угла равны по $100^\circ$.
Ответ: два угла по $80^\circ$ и два угла по $100^\circ$.