Номер 27, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Нарисуйте правильный: а) треугольник; б) четырехугольник; в) пятиугольник; г) шестиугольник. Проверьте правильность нарисованных многоугольников с помощью линейки и транспортира.

Чтобы нарисовать правильный многоугольник, необходимо знать его основные свойства: равенство всех сторон и равенство всех углов. Величину внутреннего угла правильного n-угольника можно рассчитать по формуле $ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $, где $n$ — количество углов (или сторон). Для построения и проверки нам понадобятся линейка, циркуль и транспортир.

а) треугольник
Правильный треугольник (равносторонний) имеет 3 равные стороны и 3 равных угла. Величина каждого угла составляет $ \frac{(3-2) \cdot 180^\circ}{3} = 60^\circ $.
Как нарисовать:
1. С помощью линейки нарисуйте отрезок AB желаемой длины, например, 5 см.
2. Установите раствор циркуля равным длине отрезка AB.
3. Проведите дугу с центром в точке A, а затем дугу с центром в точке B, не меняя раствора циркуля.
4. Точку пересечения дуг обозначьте как C.
5. Соедините отрезками точки A и C, а также B и C. Полученный треугольник ABC будет правильным.
Как проверить:
1. С помощью линейки измерьте длины всех сторон: AB, BC и CA. Они должны быть равны между собой.
2. С помощью транспортира измерьте величину каждого угла: ∠A, ∠B и ∠C. Каждый угол должен быть равен $60^\circ$.
Ответ: Для проверки правильности треугольника нужно с помощью линейки убедиться, что все три его стороны равны, а с помощью транспортира — что все три его угла равны $60^\circ$.

б) четырехугольник
Правильный четырехугольник — это квадрат. У него 4 равные стороны и 4 равных угла. Величина каждого угла составляет $ \frac{(4-2) \cdot 180^\circ}{4} = 90^\circ $.
Как нарисовать:
1. С помощью линейки нарисуйте отрезок AB желаемой длины, например, 4 см.
2. С помощью транспортира или угольника в точке A постройте перпендикулярный к AB луч.
3. Отложите на этом луче отрезок AD, равный по длине AB.
4. Аналогично в точке B постройте перпендикуляр и отложите на нем отрезок BC, равный AB.
5. Соедините точки C и D. Полученный четырехугольник ABCD будет квадратом.
Как проверить:
1. С помощью линейки измерьте длины всех сторон: AB, BC, CD и DA. Они должны быть равны.
2. С помощью транспортира измерьте величину каждого угла: ∠A, ∠B, ∠C и ∠D. Каждый угол должен быть равен $90^\circ$.
Ответ: Для проверки правильности четырехугольника нужно с помощью линейки убедиться, что все четыре его стороны равны, а с помощью транспортира — что все четыре его угла равны $90^\circ$.

в) пятиугольник
Правильный пятиугольник имеет 5 равных сторон и 5 равных углов. Величина каждого угла составляет $ \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ $.
Как нарисовать:
1. Нарисуйте отрезок AB желаемой длины, например, 3 см.
2. В точке B с помощью транспортира отложите угол в $108^\circ$ по внутреннюю сторону будущего многоугольника.
3. На полученном луче отложите отрезок BC той же длины, что и AB.
4. Повторите операцию в точке C: отложите угол $108^\circ$ и начертите отрезок CD равной длины.
5. Продолжайте аналогично, пока не построите все стороны. Последняя точка E должна соединиться с начальной точкой A.
Как проверить:
1. С помощью линейки измерьте длины всех пяти сторон. Они должны быть равны.
2. С помощью транспортира измерьте величину каждого из пяти внутренних углов. Каждый угол должен быть равен $108^\circ$.
Ответ: Для проверки правильности пятиугольника нужно с помощью линейки убедиться, что все пять его сторон равны, а с помощью транспортира — что все пять его углов равны $108^\circ$.

г) шестиугольник
Правильный шестиугольник имеет 6 равных сторон и 6 равных углов. Величина каждого угла составляет $ \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ $. Его проще всего построить с помощью циркуля.
Как нарисовать:
1. С помощью циркуля нарисуйте окружность с желаемым радиусом R, например, 4 см.
2. Отметьте на окружности произвольную точку A — это будет первая вершина.
3. Не меняя раствор циркуля (он должен оставаться равным радиусу R), установите его ножку в точку A и сделайте на окружности отметку. Это будет вторая вершина, B.
4. Переставьте ножку циркуля в точку B и сделайте следующую отметку на окружности, чтобы получить точку C.
5. Повторяйте этот шаг, пока не получите 6 вершин (A, B, C, D, E, F).
6. Соедините все вершины последовательно с помощью линейки. Полученный шестиугольник ABCDEF будет правильным.
Как проверить:
1. С помощью линейки измерьте длины всех шести сторон. Они должны быть равны между собой (и равны радиусу описанной окружности).
2. С помощью транспортира измерьте величину каждого из шести внутренних углов. Каждый угол должен быть равен $120^\circ$.
Ответ: Для проверки правильности шестиугольника нужно с помощью линейки убедиться, что все шесть его сторон равны, а с помощью транспортира — что все шесть его углов равны $120^\circ$.