Номер 26, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Изобразите замкнутую пятистороннюю ломаную, которая имеет:

а) две точки самопересечения;

б) три точки самопересечения;

в) пять точек самопересечения.

Замкнутая пятисторонняя ломаная линия определяется пятью вершинами, например, A, B, C, D, E, и пятью отрезками, соединяющими их последовательно: AB, BC, CD, DE, EA. Точка самопересечения — это точка, в которой пересекаются два несмежных отрезка ломаной. Для пятисторонней ломаной существует 5 пар несмежных отрезков: (AB, CD), (AB, DE), (BC, DE), (BC, EA), (CD, EA). Таким образом, максимальное число точек самопересечения равно 5.

а) две точки самопересечения

Чтобы получить две точки самопересечения, можно взять четыре вершины, образующие выпуклый четырехугольник (например, прямоугольник), и пятую вершину расположить так, чтобы она создавала "крышу". Затем соединить вершины в неочевидном порядке.

Рассмотрим вершины A, B, C, D, образующие прямоугольник, и вершину E над ним. Соединим их в последовательности A → C → E → B → D → A.

Пример такого построения показан на рисунке ниже. Вершины обозначены как A, B, C, D, E. Ломаная состоит из отрезков AC, CE, EB, BD, DA. Точки самопересечения P₁ и P₂ являются результатом пересечения отрезка BD с отрезками AC и CE.

Ответ: Изображение представлено выше.

б) три точки самопересечения

Для получения трех точек самопересечения можно построить ломаную, которая образует "петлю". Вершины A, B, C, D, E располагаются таким образом, что часть ломаной (например, отрезки BC, CD, DE) создает сложную структуру, пересекающую другие ее части.

На рисунке ниже показан пример ломаной с тремя точками самопересечения. Здесь отрезки BC, CD и EA пересекаются между собой, образуя три точки P₁, P₂ и P₃:

• P₁ = BC ∩ EA
• P₂ = BC ∩ DE
• P₃ = CD ∩ EA

Ответ: Изображение представлено выше.

в) пять точек самопересечения

Максимально возможное число точек самопересечения для пятисторонней ломаной равно пяти. Такая фигура хорошо известна как пентаграмма или пятиконечная звезда. Ее можно получить, если расположить вершины A, B, C, D, E как вершины выпуклого пятиугольника и соединить их "через одну", например, в последовательности A → C → E → B → D → A.

В этом случае каждая пара несмежных сторон пересекается. Например, для последовательности A→B→C→D→E→A, если расположить вершины в виде пентаграммы, то получится 5 пересечений. Каждая сторона пересекает две другие несмежные стороны.

На рисунке ниже показана такая ломаная.

Ответ: Изображение представлено выше.