Номер 24, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. По определению высоты, $CH$ перпендикулярна $AB$, а значит, образуются два прямых угла: $\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ$. Нам необходимо доказать, что полученные треугольники $ACH$ и $CBH$ подобны исходному треугольнику $ABC$.

1. Доказательство подобия $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$

Рассмотрим треугольники $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$. Для доказательства их подобия достаточно найти две пары равных углов (первый признак подобия треугольников).
- Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
- Оба треугольника имеют по прямому углу: $\angle AHC = 90^\circ$ в $\triangle ACH$ и $\angle ACB = 90^\circ$ в $\triangle ABC$.
Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны: $\triangle ACH \sim \triangle ABC$.

2. Доказательство подобия $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$

Рассмотрим треугольники $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$. Аналогично найдем две пары равных углов.
- Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
- Оба треугольника имеют по прямому углу: $\angle CHB = 90^\circ$ в $\triangle CBH$ и $\angle ACB = 90^\circ$ в $\triangle ABC$.
Следовательно, по первому признаку подобия, $\triangle CBH \sim \triangle ABC$.

Таким образом, мы доказали, что высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, разбивает исходный треугольник на два треугольника, и каждый из них подобен исходному треугольнику.
Ответ: Утверждение доказано. Каждый из двух треугольников ($\triangle ACH$ и $\triangle CBH$), образованных высотой, имеет с исходным треугольником $\triangle ABC$ один общий острый угол и по одному прямому углу. По признаку подобия по двум углам, этого достаточно, чтобы утверждать, что $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ и $\triangle CBH \sim \triangle ABC$.