Номер 17, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Докажите, что если в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, медиана $CM$ равна медиане $C_1M_1$, то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Дано:
Даны два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
Известно, что стороны $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$.
$CM$ — медиана треугольника $ABC$, проведённая к стороне $AB$.
$C_1M_1$ — медиана треугольника $A_1B_1C_1$, проведённая к стороне $A_1B_1$.
Также известно, что медианы равны: $CM = C_1M_1$.

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:
1. Рассмотрим вспомогательные треугольники $AMC$ и $A_1M_1C_1$.
2. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AB$, поэтому $AM = \frac{1}{2}AB$. Аналогично, точка $M_1$ является серединой стороны $A_1B_1$, поэтому $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$.
3. Поскольку по условию $AB = A_1B_1$, то и половины этих сторон равны: $AM = A_1M_1$.
4. Теперь сравним стороны треугольников $AMC$ и $A_1M_1C_1$:
- $AC = A_1C_1$ (по условию задачи).
- $CM = C_1M_1$ (по условию задачи).
- $AM = A_1M_1$ (как было доказано в п.3).
Следовательно, $\triangle AMC = \triangle A_1M_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).
5. Из равенства треугольников $AMC$ и $A_1M_1C_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$. Эти углы являются также углами $\angle A$ и $\angle A_1$ в исходных треугольниках, поэтому $\angle A = \angle A_1$.
6. Теперь рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. В них:
- $AB = A_1B_1$ (по условию).
- $AC = A_1C_1$ (по условию).
- $\angle A = \angle A_1$ (как было доказано в п.5).
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано на основании равенства двух сторон и медианы, проведённой к третьей стороне.