Номер 12, страница 6 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Для доказательства этого утверждения, которое является одной из аксиом или простейших теорем планиметрии, используется метод от противного.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Это означает, что они лежат в одной плоскости и не пересекаются ($a \parallel b$).

Пусть также дана третья прямая $c$, которая пересекает прямую $a$ в некоторой точке $M$.

Цель доказательства: Показать, что прямая $c$ обязательно пересечет и прямую $b$.

Доказательство:

Предположим обратное: пусть прямая $c$ не пересекает прямую $b$.

Согласно определению параллельных прямых, если две прямые (в данном случае $c$ и $b$) лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они параллельны. Таким образом, из нашего предположения следует, что $c \parallel b$.

Теперь рассмотрим ситуацию в совокупности:

1. У нас есть прямая $a$, параллельная прямой $b$ ($a \parallel b$) по исходному условию.

2. У нас есть прямая $c$, которая также параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$) по нашему предположению.

При этом мы знаем, что прямые $a$ и $c$ не совпадают, так как они пересекаются только в одной точке $M$.

Таким образом, мы получили, что через точку $M$ (которая не принадлежит прямой $b$, так как она лежит на прямой $a$, параллельной $b$) проходят две различные прямые, $a$ и $c$, и обе они параллельны третьей прямой $b$.

Это напрямую противоречит аксиоме параллельных прямых (пятому постулату Евклида), которая утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Поскольку мы пришли к противоречию с фундаментальной аксиомой геометрии, наше первоначальное предположение о том, что прямая $c$ не пересекает прямую $b$, было неверным.

Следовательно, единственно возможный вывод заключается в том, что прямая $c$ всё-таки пересекает прямую $b$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если предположить, что прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, не пересекает вторую, то она будет ей параллельна. В этом случае через точку пересечения первой прямой и секущей будут проходить две разные прямые, параллельные второй прямой, что противоречит аксиоме параллельных прямых.