Номер 15, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие:

а) медианы;

б) биссектрисы;

в) высоты.

а) медианы

Пусть даны два равных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Из их равенства следует, что соответствующие стороны и углы равны: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Проведем в этих треугольниках соответствующие медианы $BM$ и $B_1M_1$ к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, а точка $M_1$ — серединой стороны $A_1C_1$. Следовательно, $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

Так как $AC = A_1C_1$, то и их половины равны: $AM = A_1M_1$.

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $A_1B_1M_1$. В них:

1. $AB = A_1B_1$ (по условию равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).

2. $AM = A_1M_1$ (как доказано выше).

3. $\angle A = \angle A_1$ (по условию равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).

Следовательно, $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $ABM$ и $A_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих сторон, то есть $BM = B_1M_1$. Таким образом, соответствующие медианы равных треугольников равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что в равных треугольниках соответствующие медианы равны.

б) биссектрисы

Пусть даны два равных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Проведем в них соответствующие биссектрисы $BL$ и $B_1L_1$ из вершин $B$ и $B_1$ соответственно.

По определению биссектрисы, $\angle ABL = \frac{1}{2}\angle B$ и $\angle A_1B_1L_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$.

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, то $\angle B = \angle B_1$, а значит и их половины равны: $\angle ABL = \angle A_1B_1L_1$.

Рассмотрим треугольники $ABL$ и $A_1B_1L_1$. В них:

1. $AB = A_1B_1$ (по условию равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).

2. $\angle A = \angle A_1$ (по условию равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).

3. $\angle ABL = \angle A_1B_1L_1$ (как доказано выше).

Следовательно, $\triangle ABL = \triangle A_1B_1L_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников $ABL$ и $A_1B_1L_1$ следует равенство их соответствующих сторон, то есть $BL = B_1L_1$. Таким образом, соответствующие биссектрисы равных треугольников равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что в равных треугольниках соответствующие биссектрисы равны.

в) высоты

Пусть даны два равных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Проведем в них соответствующие высоты $BH$ и $B_1H_1$ к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно.

По определению высоты, $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$. Это означает, что треугольники $ABH$ и $A_1B_1H_1$ являются прямоугольными, так как $\angle BHA = 90^\circ$ и $\angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABH$ и $A_1B_1H_1$. В них:

1. Гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $A_1B_1$ (по условию равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).

2. Острый угол $\angle A$ равен острому углу $\angle A_1$ (по условию равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ABH$ и $A_1B_1H_1$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников $ABH$ и $A_1B_1H_1$ следует равенство их соответствующих катетов, то есть $BH = B_1H_1$. Таким образом, соответствующие высоты равных треугольников равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что в равных треугольниках соответствующие высоты равны.