Страница 8 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Периметр треугольника равен 54 см. Найдите его стороны, если они относятся как $2 : 3 : 4$.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$. По условию, $P = 54$ см.

Стороны треугольника относятся как $2:3:4$. Это означает, что их длины можно выразить через коэффициент пропорциональности $x$:

Первая сторона: $a = 2x$

Вторая сторона: $b = 3x$

Третья сторона: $c = 4x$

Подставим эти выражения в формулу периметра:

$2x + 3x + 4x = 54$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$9x = 54$

$x = \frac{54}{9}$

$x = 6$

Мы нашли коэффициент пропорциональности. Теперь можем вычислить длины каждой стороны, подставив значение $x$:

Первая сторона: $a = 2 \cdot 6 = 12$ см

Вторая сторона: $b = 3 \cdot 6 = 18$ см

Третья сторона: $c = 4 \cdot 6 = 24$ см

Проверим результат, сложив длины сторон: $12 + 18 + 24 = 54$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: стороны треугольника равны 12 см, 18 см и 24 см.

15. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие:

а) медианы;

б) биссектрисы;

в) высоты.

а) медианы

Пусть даны два равных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Из их равенства следует, что соответствующие стороны и углы равны: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Проведем в этих треугольниках соответствующие медианы $BM$ и $B_1M_1$ к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, а точка $M_1$ — серединой стороны $A_1C_1$. Следовательно, $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

Так как $AC = A_1C_1$, то и их половины равны: $AM = A_1M_1$.

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $A_1B_1M_1$. В них:

1. $AB = A_1B_1$ (по условию равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).

2. $AM = A_1M_1$ (как доказано выше).

3. $\angle A = \angle A_1$ (по условию равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).

Следовательно, $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $ABM$ и $A_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих сторон, то есть $BM = B_1M_1$. Таким образом, соответствующие медианы равных треугольников равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что в равных треугольниках соответствующие медианы равны.

б) биссектрисы

Пусть даны два равных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Проведем в них соответствующие биссектрисы $BL$ и $B_1L_1$ из вершин $B$ и $B_1$ соответственно.

По определению биссектрисы, $\angle ABL = \frac{1}{2}\angle B$ и $\angle A_1B_1L_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$.

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, то $\angle B = \angle B_1$, а значит и их половины равны: $\angle ABL = \angle A_1B_1L_1$.

Рассмотрим треугольники $ABL$ и $A_1B_1L_1$. В них:

1. $AB = A_1B_1$ (по условию равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).

2. $\angle A = \angle A_1$ (по условию равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).

3. $\angle ABL = \angle A_1B_1L_1$ (как доказано выше).

Следовательно, $\triangle ABL = \triangle A_1B_1L_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников $ABL$ и $A_1B_1L_1$ следует равенство их соответствующих сторон, то есть $BL = B_1L_1$. Таким образом, соответствующие биссектрисы равных треугольников равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что в равных треугольниках соответствующие биссектрисы равны.

в) высоты

Пусть даны два равных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Проведем в них соответствующие высоты $BH$ и $B_1H_1$ к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно.

По определению высоты, $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$. Это означает, что треугольники $ABH$ и $A_1B_1H_1$ являются прямоугольными, так как $\angle BHA = 90^\circ$ и $\angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABH$ и $A_1B_1H_1$. В них:

1. Гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $A_1B_1$ (по условию равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).

2. Острый угол $\angle A$ равен острому углу $\angle A_1$ (по условию равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ABH$ и $A_1B_1H_1$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников $ABH$ и $A_1B_1H_1$ следует равенство их соответствующих катетов, то есть $BH = B_1H_1$. Таким образом, соответствующие высоты равных треугольников равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что в равных треугольниках соответствующие высоты равны.

16. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если:

а) основание меньше боковой стороны на 3 м;

б) основание больше боковой стороны на 3 м.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $a$, а основание равно $b$. Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон, и для равнобедренного треугольника он вычисляется по формуле $P = 2a + b$. По условию задачи, периметр равен 15,6 м, следовательно, мы имеем уравнение: $2a + b = 15,6$.

а) основание меньше боковой стороны на 3 м

Из этого условия следует, что $b = a - 3$. Подставим это выражение в уравнение для периметра:
$2a + (a - 3) = 15,6$
$3a - 3 = 15,6$
$3a = 15,6 + 3$
$3a = 18,6$
$a = 18,6 / 3$
$a = 6,2$ м.
Теперь найдем длину основания:
$b = a - 3 = 6,2 - 3 = 3,2$ м.
Таким образом, стороны треугольника равны 6,2 м, 6,2 м и 3,2 м.
Проверка: $6,2 + 6,2 + 3,2 = 12,4 + 3,2 = 15,6$ м.
Ответ: боковые стороны равны 6,2 м, основание равно 3,2 м.

б) основание больше боковой стороны на 3 м

Из этого условия следует, что $b = a + 3$. Подставим это выражение в уравнение для периметра:
$2a + (a + 3) = 15,6$
$3a + 3 = 15,6$
$3a = 15,6 - 3$
$3a = 12,6$
$a = 12,6 / 3$
$a = 4,2$ м.
Теперь найдем длину основания:
$b = a + 3 = 4,2 + 3 = 7,2$ м.
Таким образом, стороны треугольника равны 4,2 м, 4,2 м и 7,2 м.
Проверка: $4,2 + 4,2 + 7,2 = 8,4 + 7,2 = 15,6$ м.
Ответ: боковые стороны равны 4,2 м, основание равно 7,2 м.

17. Докажите, что если в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, медиана $CM$ равна медиане $C_1M_1$, то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Дано:
Даны два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
Известно, что стороны $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$.
$CM$ — медиана треугольника $ABC$, проведённая к стороне $AB$.
$C_1M_1$ — медиана треугольника $A_1B_1C_1$, проведённая к стороне $A_1B_1$.
Также известно, что медианы равны: $CM = C_1M_1$.

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:
1. Рассмотрим вспомогательные треугольники $AMC$ и $A_1M_1C_1$.
2. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AB$, поэтому $AM = \frac{1}{2}AB$. Аналогично, точка $M_1$ является серединой стороны $A_1B_1$, поэтому $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$.
3. Поскольку по условию $AB = A_1B_1$, то и половины этих сторон равны: $AM = A_1M_1$.
4. Теперь сравним стороны треугольников $AMC$ и $A_1M_1C_1$:
- $AC = A_1C_1$ (по условию задачи).
- $CM = C_1M_1$ (по условию задачи).
- $AM = A_1M_1$ (как было доказано в п.3).
Следовательно, $\triangle AMC = \triangle A_1M_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).
5. Из равенства треугольников $AMC$ и $A_1M_1C_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$. Эти углы являются также углами $\angle A$ и $\angle A_1$ в исходных треугольниках, поэтому $\angle A = \angle A_1$.
6. Теперь рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. В них:
- $AB = A_1B_1$ (по условию).
- $AC = A_1C_1$ (по условию).
- $\angle A = \angle A_1$ (как было доказано в п.5).
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано на основании равенства двух сторон и медианы, проведённой к третьей стороне.

18. В треугольнике ABC $\angle A$ равен $40^\circ$, $AC = BC$. Найдите $\angle C$.

По условию задачи в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны ($AC = BC$). Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае основанием является сторона $AB$, а углами при основании — углы $A$ и $B$. Таким образом, $\angle A = \angle B$.

Из условия известно, что $\angle A = 40^\circ$, значит, $\angle B$ также равен $40^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это можно записать в виде формулы: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Подставим известные значения углов в эту формулу, чтобы найти угол $C$:

$40^\circ + 40^\circ + \angle C = 180^\circ$

$80^\circ + \angle C = 180^\circ$

Теперь выразим угол $C$:

$\angle C = 180^\circ - 80^\circ$

$\angle C = 100^\circ$

Ответ: $100^\circ$.

19. Углы треугольника относятся как $1 : 2 : 3$. Найдите меньший из них.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.

По условию задачи, углы треугольника относятся как $1 : 2 : 3$. Пусть $x$ — это коэффициент пропорциональности, представляющий одну часть отношения. Тогда величины углов можно записать как $1x$ (или просто $x$), $2x$ и $3x$.

Составим уравнение, приравняв сумму углов к $180^\circ$:

$1x + 2x + 3x = 180^\circ$

Решим полученное уравнение:

$6x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{6}$

$x = 30^\circ$

Мы нашли значение одной части. Теперь найдем величину каждого угла, подставив значение $x$:

Первый угол: $1 \cdot x = 1 \cdot 30^\circ = 30^\circ$

Второй угол: $2 \cdot x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Третий угол: $3 \cdot x = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

Углы треугольника равны $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$. Наименьший из них — это тот, который соответствует наименьшей части в отношении, то есть $1x$.

Ответ: $30^\circ$

20. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$. Внешний угол при вершине $B$ равен $138^\circ$. Найдите угол $C$.

Согласно условию, в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$). Такой треугольник называется равнобедренным. Сторона $AC$ является его основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, угол $A$ равен углу $C$. Запишем это в виде формулы: $\angle A = \angle C$.

Внешний угол треугольника при некоторой вершине и внутренний угол при той же вершине являются смежными, и их сумма составляет $180^\circ$. Внешний угол при вершине $B$ равен $138^\circ$. Мы можем найти величину внутреннего угла $B$ (или $\angle ABC$):
$\angle B = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это означает:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Теперь мы можем подставить известные нам значения в это равенство. Заменим $\angle A$ на равный ему $\angle C$ и подставим значение $\angle B = 42^\circ$:
$\angle C + 42^\circ + \angle C = 180^\circ$
$2 \cdot \angle C + 42^\circ = 180^\circ$
Решим полученное уравнение, чтобы найти $\angle C$:
$2 \cdot \angle C = 180^\circ - 42^\circ$
$2 \cdot \angle C = 138^\circ$
$\angle C = \frac{138^\circ}{2}$
$\angle C = 69^\circ$.

Ответ: 69

21. Периметр треугольника равен 15 см. Найдите периметр треугольника, отсекаемого от данного какой-нибудь его средней линией.

Пусть стороны исходного треугольника равны $a, b$ и $c$. Его периметр $P_{исх}$ по условию равен 15 см.

$P_{исх} = a + b + c = 15$ см.

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. Когда мы проводим среднюю линию, она отсекает от исходного треугольника меньший треугольник.

Стороны этого меньшего, отсеченного треугольника, будут равны:

1. Половине одной из сторон исходного треугольника, так как средняя линия выходит из ее середины. Длина этого отрезка — $\frac{a}{2}$.

2. Половине другой стороны исходного треугольника по той же причине. Длина этого отрезка — $\frac{b}{2}$.

3. Третья сторона малого треугольника — это сама средняя линия. По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине третьей стороны исходного треугольника, то есть $\frac{c}{2}$.

Теперь найдем периметр $P_{мал}$ отсеченного треугольника, сложив длины всех его сторон:

$P_{мал} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}$

Можно вынести общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$P_{мал} = \frac{1}{2}(a + b + c)$

Так как выражение в скобках $(a + b + c)$ является периметром исходного треугольника $P_{исх}$, то мы получаем, что периметр малого треугольника равен половине периметра исходного:

$P_{мал} = \frac{1}{2}P_{исх}$

Подставим известное значение периметра исходного треугольника:

$P_{мал} = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7,5$ см.

Ответ: 7,5 см.

22. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 1.

Для решения задачи рассмотрим равносторонний треугольник, все стороны которого по условию равны 1. Обозначим его вершины как A, B и C. Таким образом, $AB = BC = AC = 1$.

Проведем высоту из вершины B к основанию AC и назовем ее BH. Эта высота $h = BH$ делит исходный равносторонний треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника: ABH и CBH.

В равностороннем треугольнике высота является одновременно и медианой. Это означает, что она делит противоположную сторону пополам. Следовательно, точка H является серединой стороны AC, и длина отрезка HC составляет половину длины стороны AC:

$HC = \frac{AC}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим один из получившихся прямоугольных треугольников, например, треугольник CBH. В этом треугольнике гипотенузой является сторона BC (длина 1), а катетами — отрезки HC (длина $\frac{1}{2}$) и BH (искомая высота $h$).

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $BH^2 + HC^2 = BC^2$.

Подставим известные нам значения в эту формулу:

$h^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1^2$

Теперь решим это уравнение относительно $h$:

$h^2 + \frac{1}{4} = 1$

$h^2 = 1 - \frac{1}{4}$

$h^2 = \frac{3}{4}$

Чтобы найти $h$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как длина высоты не может быть отрицательной, берем только положительное значение корня:

$h = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

23. Стороны одного треугольника равны 16 см, 8 см и 10 см. Меньшая сторона второго треугольника, подобного первому, равна 6 см. Найдите другие стороны второго треугольника.

Пусть стороны первого треугольника равны $a_1, b_1, c_1$. По условию, их длины составляют 16 см, 8 см и 10 см. Расположим их в порядке возрастания: 8 см, 10 см, 16 см.

Пусть стороны второго треугольника, подобного первому, равны $a_2, b_2, c_2$. По определению подобных треугольников, отношение их соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$: $k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1}$

В подобных треугольниках наименьшая сторона одного треугольника соответствует наименьшей стороне другого, средняя - средней, а наибольшая - наибольшей.

Наименьшая сторона первого треугольника равна 8 см. По условию, наименьшая сторона второго треугольника равна 6 см. Мы можем найти коэффициент подобия $k$, разделив длину наименьшей стороны второго треугольника на длину наименьшей стороны первого треугольника: $k = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Теперь мы можем найти две другие стороны второго треугольника, умножив соответствующие им стороны первого треугольника (10 см и 16 см) на найденный коэффициент подобия $k$:

Средняя сторона второго треугольника равна: $10 \text{ см} \cdot k = 10 \cdot \frac{3}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 \text{ см}$

Наибольшая сторона второго треугольника равна: $16 \text{ см} \cdot k = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12 \text{ см}$

Ответ: две другие стороны второго треугольника равны 7.5 см и 12 см.

24. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. По определению высоты, $CH$ перпендикулярна $AB$, а значит, образуются два прямых угла: $\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ$. Нам необходимо доказать, что полученные треугольники $ACH$ и $CBH$ подобны исходному треугольнику $ABC$.

1. Доказательство подобия $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$

Рассмотрим треугольники $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$. Для доказательства их подобия достаточно найти две пары равных углов (первый признак подобия треугольников).
- Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
- Оба треугольника имеют по прямому углу: $\angle AHC = 90^\circ$ в $\triangle ACH$ и $\angle ACB = 90^\circ$ в $\triangle ABC$.
Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны: $\triangle ACH \sim \triangle ABC$.

2. Доказательство подобия $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$

Рассмотрим треугольники $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$. Аналогично найдем две пары равных углов.
- Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
- Оба треугольника имеют по прямому углу: $\angle CHB = 90^\circ$ в $\triangle CBH$ и $\angle ACB = 90^\circ$ в $\triangle ABC$.
Следовательно, по первому признаку подобия, $\triangle CBH \sim \triangle ABC$.

Таким образом, мы доказали, что высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, разбивает исходный треугольник на два треугольника, и каждый из них подобен исходному треугольнику.
Ответ: Утверждение доказано. Каждый из двух треугольников ($\triangle ACH$ и $\triangle CBH$), образованных высотой, имеет с исходным треугольником $\triangle ABC$ один общий острый угол и по одному прямому углу. По признаку подобия по двум углам, этого достаточно, чтобы утверждать, что $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ и $\triangle CBH \sim \triangle ABC$.