Страница 14 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

57. Найдите площадь прямоугольника, сторона которого равна 6, а диагональ равна 10.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, и диагональю $d$. По условию задачи нам известны длина одной стороны, пусть это будет $a = 6$, и длина диагонали $d = 10$.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Для нахождения площади нам необходимо определить длину второй стороны $b$.

Диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников стороны прямоугольника $a$ и $b$ являются катетами, а диагональ $d$ — гипотенузой.

Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = d^2$.

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти неизвестную сторону $b$:

$6^2 + b^2 = 10^2$

$36 + b^2 = 100$

Выразим $b^2$:

$b^2 = 100 - 36$

$b^2 = 64$

Теперь найдем длину стороны $b$, извлекая квадратный корень из 64:

$b = \sqrt{64} = 8$

Теперь, когда мы знаем длины обеих сторон прямоугольника ($a=6$ и $b=8$), мы можем вычислить его площадь:

$S = a \cdot b = 6 \cdot 8 = 48$

Ответ: 48.

58. Найти площадь квадрата по его диагонали $a$.

58. Пусть сторона квадрата равна $x$, а его диагональ, согласно условию, равна $a$. Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников стороны квадрата $x$ являются катетами, а диагональ $a$ — гипотенузой.
Применим теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы:
$x^2 + x^2 = a^2$
Упростим полученное выражение:
$2x^2 = a^2$
Площадь квадрата $S$ вычисляется как квадрат его стороны, то есть по формуле $S = x^2$.
Из уравнения, полученного по теореме Пифагора, выразим $x^2$ через $a$:
$x^2 = \frac{a^2}{2}$
Теперь подставим это выражение в формулу для площади квадрата:
$S = \frac{a^2}{2}$
Таким образом, мы получили формулу для вычисления площади квадрата по его диагонали.
Ответ: $S = \frac{a^2}{2}$

59. Площадь квадрата равна 1. Найдите площадь квадрата, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата.

59. Для решения этой задачи существует несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: через теорему Пифагора

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Его площадь $S_1 = a^2$. По условию задачи, $S_1 = 1$, из чего следует, что сторона $a = \sqrt{1} = 1$.

Вершины нового квадрата расположены на серединах сторон исходного. Рассмотрим сторону нового квадрата. Она соединяет середины двух соседних сторон исходного квадрата и является гипотенузой прямоугольного треугольника. Катетами этого треугольника служат половины сторон исходного квадрата. Длина каждого катета равна $a/2 = 1/2$.

Обозначим сторону нового квадрата как $b$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$b^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2$

Подставим значение $a=1$:

$b^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2$

Площадь нового квадрата $S_2$ равна квадрату его стороны, то есть $S_2 = b^2$.

Следовательно, площадь нового квадрата $S_2 = 1/2 = 0.5$.

Способ 2: через вычитание площадей

Новый квадрат вписан в исходный. Пространство между ними занимают четыре одинаковых прямоугольных треугольника, расположенных по углам большого квадрата. Чтобы найти площадь нового квадрата, можно из площади исходного квадрата вычесть суммарную площадь этих четырех треугольников.

Сторона исходного квадрата $a=1$. Катеты каждого из четырех треугольников равны $a/2 = 1/2$.

Площадь одного такого треугольника ($S_{\triangle}$) вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Так как треугольников четыре, их общая площадь составляет:

$4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем площадь нового квадрата ($S_2$), вычитая общую площадь треугольников из площади исходного квадрата ($S_1$):

$S_2 = S_1 - 4 \cdot S_{\triangle} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 0.5

60. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 8 см и 10 см, а угол между ними равен:

а) $30^\circ$;

б) $45^\circ$;

в) $60^\circ$.

61. Площадь параллелограмма равна $40 \text{ см}^2$, а стороны – 5 см и 10 см.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон, а $\alpha$ — угол между ними.

По условию задачи, стороны параллелограмма равны $a = 8$ см и $b = 10$ см.

а)

Если угол между сторонами равен $30^\circ$, то площадь параллелограмма равна:

$S = 8 \cdot 10 \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40$ см$^2$.

Ответ: $40$ см$^2$.

б)

Если угол между сторонами равен $45^\circ$, то площадь параллелограмма равна:

$S = 8 \cdot 10 \cdot \sin(45^\circ)$

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$S = 80 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 40\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $40\sqrt{2}$ см$^2$.

в)

Если угол между сторонами равен $60^\circ$, то площадь параллелограмма равна:

$S = 8 \cdot 10 \cdot \sin(60^\circ)$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S = 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $40\sqrt{3}$ см$^2$.

61. Площадь параллелограмма равна 40 $\text{см}^2$, стороны — 5 см и 10 см. Найдите высоты этого параллелограмма.

Площадь параллелограмма ($S$) можно найти по формуле произведения стороны ($a$) на высоту ($h$), проведенную к этой стороне: $S = a \cdot h$. Поскольку у параллелограмма есть две стороны разной длины, у него также есть две соответствующие им высоты.

По условию задачи площадь $S = 40 \text{ см}^2$, а стороны равны $a_1 = 5 \text{ см}$ и $a_2 = 10 \text{ см}$. Найдем обе высоты $h_1$ и $h_2$.

Сначала найдем высоту $h_1$, проведенную к стороне $a_1 = 5 \text{ см}$. Из формулы площади $S = a_1 \cdot h_1$ выразим высоту: $h_1 = \frac{S}{a_1}$.

Подставим известные значения: $h_1 = \frac{40}{5} = 8 \text{ см}$.

Теперь найдем высоту $h_2$, проведенную к стороне $a_2 = 10 \text{ см}$. Из формулы площади $S = a_2 \cdot h_2$ выразим высоту: $h_2 = \frac{S}{a_2}$.

Подставим известные значения: $h_2 = \frac{40}{10} = 4 \text{ см}$.

Ответ: высоты параллелограмма равны 4 см и 8 см.

62. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – длина основания, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

В данном нам равнобедренном треугольнике основание равно 6, а боковые стороны равны 5. Проведем высоту из вершины, противолежащей основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, то есть делит основание на два равных отрезка.

Таким образом, высота делит наш равнобедренный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. У каждого из этих прямоугольных треугольников:

• гипотенуза равна боковой стороне исходного треугольника, то есть 5;
• один из катетов равен половине основания, то есть $\frac{6}{2} = 3$;
• второй катет является высотой исходного треугольника ($h$).

Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$):

$5^2 = 3^2 + h^2$

$25 = 9 + h^2$

$h^2 = 25 - 9$

$h^2 = 16$

$h = \sqrt{16} = 4$

Теперь, когда мы знаем высоту треугольника ($h = 4$) и его основание ($a = 6$), мы можем вычислить его площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12$

Ответ: 12.

63. Площадь треугольника равна 30. Одна его сторона равна 10. Найдите высоту, опущенную на эту сторону.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника, которая связывает площадь, сторону и высоту, опущенную на эту сторону.

Формула площади треугольника ($S$) выглядит следующим образом:$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$где $a$ – это длина стороны (основания), а $h$ – это высота, проведенная к этой стороне.

В условии задачи нам даны следующие значения:

• Площадь треугольника $S = 30$.
• Длина одной из сторон $a = 10$.

Наша цель – найти высоту $h$. Подставим известные значения в формулу:$30 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$

Сначала вычислим произведение $\frac{1}{2}$ и $10$:$30 = 5 \cdot h$

Теперь, чтобы найти $h$, разделим обе части уравнения на 5:$h = \frac{30}{5}$$h = 6$

Следовательно, высота, опущенная на сторону длиной 10, равна 6.

Ответ: 6