Номер 59, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

59. Площадь квадрата равна 1. Найдите площадь квадрата, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата.

59. Для решения этой задачи существует несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: через теорему Пифагора

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Его площадь $S_1 = a^2$. По условию задачи, $S_1 = 1$, из чего следует, что сторона $a = \sqrt{1} = 1$.

Вершины нового квадрата расположены на серединах сторон исходного. Рассмотрим сторону нового квадрата. Она соединяет середины двух соседних сторон исходного квадрата и является гипотенузой прямоугольного треугольника. Катетами этого треугольника служат половины сторон исходного квадрата. Длина каждого катета равна $a/2 = 1/2$.

Обозначим сторону нового квадрата как $b$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$b^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2$

Подставим значение $a=1$:

$b^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2$

Площадь нового квадрата $S_2$ равна квадрату его стороны, то есть $S_2 = b^2$.

Следовательно, площадь нового квадрата $S_2 = 1/2 = 0.5$.

Способ 2: через вычитание площадей

Новый квадрат вписан в исходный. Пространство между ними занимают четыре одинаковых прямоугольных треугольника, расположенных по углам большого квадрата. Чтобы найти площадь нового квадрата, можно из площади исходного квадрата вычесть суммарную площадь этих четырех треугольников.

Сторона исходного квадрата $a=1$. Катеты каждого из четырех треугольников равны $a/2 = 1/2$.

Площадь одного такого треугольника ($S_{\triangle}$) вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Так как треугольников четыре, их общая площадь составляет:

$4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем площадь нового квадрата ($S_2$), вычитая общую площадь треугольников из площади исходного квадрата ($S_1$):

$S_2 = S_1 - 4 \cdot S_{\triangle} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 0.5