Номер 56, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Повторение курса геометрии для 7—9 классов - номер 56, страница 13.

Условия.

56. Даны три стороны треугольника $BC = 2$, $AC = 3$, $AB = 4$. Найдите

косинусы его углов $A$, $B$, $C$.

Решение.

Решение 2.

Для нахождения косинусов углов треугольника воспользуемся теоремой косинусов. Пусть стороны треугольника, противолежащие углам $A, B, C$, равны соответственно $a, b, c$. По условию задачи имеем:

$a = BC = 2$

$b = AC = 3$

$c = AB = 4$

Теорема косинусов для угла $A$ имеет вид: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$. Из нее можно выразить косинусы для каждого из углов:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Теперь подставим известные длины сторон в эти формулы.

A

Вычисляем косинус угла $A$, подставляя значения $a=2, b=3, c=4$:

$\cos A = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9 + 16 - 4}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\cos A = \frac{7}{8}$.

B

Вычисляем косинус угла $B$, подставляя значения $a=2, b=3, c=4$:

$\cos B = \frac{2^2 + 4^2 - 3^2}{2 \cdot 2 \cdot 4} = \frac{4 + 16 - 9}{16} = \frac{11}{16}$.

Ответ: $\cos B = \frac{11}{16}$.

C

Вычисляем косинус угла $C$, подставляя значения $a=2, b=3, c=4$:

$\cos C = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{4 + 9 - 16}{12} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $\cos C = -\frac{1}{4}$.