Номер 55, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Повторение курса геометрии для 7—9 классов - номер 55, страница 13.

Условия.

55. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 1$, угол $C$ равен $150^\circ$. Найдите $AB$.

Решение.

Решение 2.

55. Для нахождения длины стороны $AB$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов для стороны $AB$ выглядит так:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

В условии задачи даны следующие значения: $AC = 1$, $BC = 1$ и $\angle C = 150^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(150^\circ)$

Выполним вычисления:

$AB^2 = 1 + 1 - 2 \cdot \cos(150^\circ)$

$AB^2 = 2 - 2 \cos(150^\circ)$

Теперь необходимо найти значение $\cos(150^\circ)$. Можно использовать формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$

Значение косинуса $30^\circ$ является табличным: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим найденное значение косинуса в наше выражение для $AB^2$:

$AB^2 = 2 - 2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$AB^2 = 2 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AB^2 = 2 + \sqrt{3}$

Чтобы найти длину $AB$, извлечем квадратный корень из полученного результата:

$AB = \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

Ответ: $AB = \sqrt{2 + \sqrt{3}}$.