Номер 53, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

53. При каких значениях угла треугольника квадрат стороны, лежащей против этого угла:

а) меньше суммы квадратов двух других сторон;

б) равен сумме квадратов двух других сторон;

в) больше суммы квадратов двух других сторон?

Для решения этой задачи воспользуемся обобщенной теоремой Пифагора, также известной как теорема косинусов. Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, который лежит против стороны $c$. Согласно теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Мы будем анализировать эту формулу для каждого из трех случаев, чтобы определить условия для угла $\gamma$.

а) меньше суммы квадратов двух других сторон

Мы ищем значения угла $\gamma$, при которых выполняется неравенство $c^2 < a^2 + b^2$.

Подставим в это неравенство формулу из теоремы косинусов:

$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) < a^2 + b^2$

Теперь вычтем из обеих частей неравенства сумму $a^2 + b^2$:

$-2ab \cos(\gamma) < 0$

Поскольку длины сторон треугольника $a$ и $b$ всегда положительны, их произведение $2ab$ также является положительным числом. Разделим обе части неравенства на отрицательное число $-2ab$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$\cos(\gamma) > 0$

Угол в треугольнике может быть в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. Косинус угла является положительной величиной, когда угол острый, то есть принадлежит интервалу $(0^\circ, 90^\circ)$.

Ответ: Квадрат стороны меньше суммы квадратов двух других сторон, если угол, лежащий против этой стороны, является острым (больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$).

б) равен сумме квадратов двух других сторон

Мы ищем значения угла $\gamma$, при которых выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2$.

Это равенство является формулировкой теоремы Пифагора. Подставим в него выражение из теоремы косинусов:

$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) = a^2 + b^2$

Вычтем из обеих частей равенства $a^2 + b^2$:

$-2ab \cos(\gamma) = 0$

Так как $a > 0$ и $b > 0$, то и $2ab \neq 0$. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы:

$\cos(\gamma) = 0$

В диапазоне углов треугольника ($0^\circ < \gamma < 180^\circ$) косинус равен нулю только в одном случае: когда угол прямой.

$\gamma = 90^\circ$

Ответ: Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон, если угол, лежащий против этой стороны, является прямым (равен $90^\circ$).

в) больше суммы квадратов двух других сторон

Мы ищем значения угла $\gamma$, при которых выполняется неравенство $c^2 > a^2 + b^2$.

Подставим в него формулу из теоремы косинусов:

$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) > a^2 + b^2$

Вычтем из обеих частей неравенства $a^2 + b^2$:

$-2ab \cos(\gamma) > 0$

Разделим обе части на отрицательное число $-2ab$ и сменим знак неравенства:

$\cos(\gamma) < 0$

Косинус угла является отрицательной величиной, когда угол тупой, то есть принадлежит интервалу $(90^\circ, 180^\circ)$.

Ответ: Квадрат стороны больше суммы квадратов двух других сторон, если угол, лежащий против этой стороны, является тупым (больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$).