Страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

45. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) основание равно 6, боковые стороны равны 5. Найдите значения тригонометрических функций угла $A$.

Для нахождения тригонометрических функций угла $A$ в равнобедренном треугольнике $ABC$ проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $H$ — середина основания $AB$. Это значит, что высота делит основание на два равных отрезка.

$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (угол $CHA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AC=5$ (боковая сторона) и катет $AH=3$ (половина основания). Найдем второй катет $CH$ по теореме Пифагора:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

$CH^2 = AC^2 - AH^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$

$CH = \sqrt{16} = 4$.

Теперь мы имеем все необходимые данные для треугольника $ACH$: прилежащий к углу $A$ катет $AH = 3$, противолежащий катет $CH = 4$ и гипотенуза $AC = 5$.

Синус угла A
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\sin A = \frac{4}{5}$.

Косинус угла A
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
$\cos A = \frac{AH}{AC} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\cos A = \frac{3}{5}$.

Тангенс угла A
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
$\tan A = \frac{CH}{AH} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\tan A = \frac{4}{3}$.

Котангенс угла A
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
$\cot A = \frac{AH}{CH} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\cot A = \frac{3}{4}$.

46. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $30^\circ$, $AC = 2$.

Найдите высоту $CH$.

Решение:

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$ и катет $AC = 2$. К гипотенузе $AB$ проведена высота $CH$. По определению высоты, $CH$ перпендикулярна $AB$, поэтому треугольник $ACH$ также является прямоугольным с прямым углом $\angle CHA = 90^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. В этом треугольнике гипотенузой является сторона $AC$ (так как она лежит напротив прямого угла $\angle CHA$), и ее длина равна 2. Угол $\angle A$ равен $30^{\circ}$. Искомая высота $CH$ является катетом, противолежащим углу $\angle A$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Применим это определение к углу $A$ в треугольнике $ACH$: $sin(A) = \frac{CH}{AC}$

Выразим из этой формулы длину высоты $CH$: $CH = AC \cdot sin(A)$

Подставим известные значения: $CH = 2 \cdot sin(30^{\circ})$

Мы знаем, что $sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$. Следовательно: $CH = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Ответ: 1.

47. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 2$, угол $C$ равен $120^\circ$. Найдите высоту $AH$.

Поскольку угол C в треугольнике ABC равен $120^\circ$ (тупой угол), высота AH, опущенная из вершины A на сторону BC, будет падать на продолжение этой стороны. Обозначим точку пересечения высоты и прямой BC как H. Таким образом, точка C лежит между точками B и H.

Рассмотрим треугольник AHC. Он является прямоугольным, так как AH — высота и, следовательно, $\angle AHC = 90^\circ$.

Угол $\angle ACH$ и угол $\angle ACB$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle ACH$:

$\angle ACH = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике AHC нам известны:

• гипотенуза AC = 2 (по условию);
• угол $\angle ACH = 60^\circ$.

Сторона AH является катетом, противолежащим углу $\angle ACH$. Для нахождения длины этого катета воспользуемся определением синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$

Выразим из этой формулы искомую высоту AH:

$AH = AC \cdot \sin(\angle ACH)$

Подставим известные значения:

$AH = 2 \cdot \sin(60^\circ)$

Значение синуса $60^\circ$ является табличным: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда:

$AH = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

48. Найдите $ \cos A $, если:

а) $ \sin A = \frac{1}{3} $;

б) $ \sin A = \frac{3}{5} $.

Для решения данной задачи мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое связывает синус и косинус одного и того же угла A: $sin^2 A + cos^2 A = 1$.

Из этого тождества можно выразить косинус угла A:

$cos^2 A = 1 - sin^2 A$

$cos A = \sqrt{1 - sin^2 A}$

Поскольку в школьном курсе геометрии обычно рассматриваются углы в прямоугольном треугольнике, которые являются острыми (от 0° до 90°), значение косинуса для таких углов всегда положительно. Поэтому мы используем корень со знаком плюс.

а) Нам дано, что $sin A = \frac{1}{3}$. Подставим это значение в выведенную формулу:

$cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}$

Сначала возведем синус в квадрат:

$\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$

Теперь подставим результат в выражение под корнем:

$cos A = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9} - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}}$

Упростим полученный корень:

$cos A = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

б) Нам дано, что $sin A = \frac{3}{5}$. Подставим это значение в ту же формулу:

$cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2}$

Возведем синус в квадрат:

$\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}$

Подставим результат в выражение под корнем:

$cos A = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25} - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}}$

Извлечем корень:

$cos A = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$.

49. Найдите tg A, если:

a) $ \cos A = \frac{2}{3} $;

б) $ \cos A = \frac{5}{13} $.

а)

Для нахождения $tg A$, зная $cos A$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A}$.

По условию задачи дано, что $cos A = \frac{2}{3}$. Подставим это значение в формулу:

$1 + tg^2 A = \frac{1}{(\frac{2}{3})^2}$

Выполним возведение в квадрат в знаменателе:

$1 + tg^2 A = \frac{1}{\frac{4}{9}}$

Упростим дробь:

$1 + tg^2 A = \frac{9}{4}$

Теперь выразим $tg^2 A$, перенеся 1 в правую часть уравнения:

$tg^2 A = \frac{9}{4} - 1$

$tg^2 A = \frac{9}{4} - \frac{4}{4}$

$tg^2 A = \frac{5}{4}$

Чтобы найти $tg A$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$tg A = \pm\sqrt{\frac{5}{4}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$

Поскольку в таких задачах обычно предполагается, что угол A является острым углом прямоугольного треугольника ($0^\circ < A < 90^\circ$), его тангенс должен быть положительным числом.

Следовательно, выбираем значение со знаком плюс.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту, используя то же тригонометрическое тождество: $1 + tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A}$.

По условию, $cos A = \frac{5}{13}$. Подставим это значение в тождество:

$1 + tg^2 A = \frac{1}{(\frac{5}{13})^2}$

Возводим в квадрат знаменатель:

$1 + tg^2 A = \frac{1}{\frac{25}{169}}$

Переворачиваем дробь в правой части:

$1 + tg^2 A = \frac{169}{25}$

Выражаем $tg^2 A$:

$tg^2 A = \frac{169}{25} - 1$

$tg^2 A = \frac{169}{25} - \frac{25}{25}$

$tg^2 A = \frac{144}{25}$

Извлекаем квадратный корень для нахождения $tg A$:

$tg A = \pm\sqrt{\frac{144}{25}} = \pm\frac{12}{5}$

Так как мы предполагаем, что угол A острый, его тангенс положителен.

Поэтому выбираем положительное значение.

Ответ: $\frac{12}{5}$.