Страница 10 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

33. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы $25^\circ$ и $35^\circ$. Найдите углы параллелограмма.

Диагональ параллелограмма, выходящая из одной вершины, делит угол этой вершины на две части. Согласно условию задачи, эти части равны $25^\circ$ и $35^\circ$. Следовательно, один из углов параллелограмма является суммой этих двух углов.

Найдем величину этого угла:
$25^\circ + 35^\circ = 60^\circ$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Зная один угол ($60^\circ$), мы можем найти смежный с ним угол:
$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Также в параллелограмме противоположные углы равны. Это означает, что в данном параллелограмме есть два угла по $60^\circ$ и два угла по $120^\circ$.

Ответ: углы параллелограмма равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$ и $120^\circ$.

34. Найдите углы параллелограмма, если сумма двух из них равна:

a) $80^\circ$;

б) $100^\circ$;

в) $160^\circ$.

Для решения этой задачи воспользуемся ключевыми свойствами углов параллелограмма. Во-первых, противоположные углы параллелограмма равны. Во-вторых, сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$.

Пусть в параллелограмме есть два разных угла, $\alpha$ и $\beta$. Тогда два угла равны $\alpha$, а два других — $\beta$, причём $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Сумма двух любых углов параллелограмма может быть либо суммой прилежащих углов ($\alpha + \beta = 180^\circ$), либо суммой противолежащих углов ($2\alpha$ или $2\beta$). Поскольку в условии задачи все указанные суммы ($80^\circ, 100^\circ, 160^\circ$) не равны $180^\circ$, следовательно, речь идёт о сумме двух равных противолежащих углов.

а) Сумма двух углов равна $80^\circ$. Пусть это два равных противолежащих угла, каждый из которых равен $\alpha$.

$2\alpha = 80^\circ$

Находим $\alpha$: $\alpha = 80^\circ / 2 = 40^\circ$.

Итак, два угла параллелограмма равны по $40^\circ$. Другая пара углов, обозначим их $\beta$, является смежной к углам $\alpha$. Их величину найдем из свойства суммы прилежащих углов:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Таким образом, два других угла равны по $140^\circ$.
Ответ: два угла по $40^\circ$ и два угла по $140^\circ$.

б) Сумма двух углов равна $100^\circ$. Аналогично, это сумма двух равных противолежащих углов. Пусть каждый из них равен $\alpha$.

$2\alpha = 100^\circ$

Находим $\alpha$: $\alpha = 100^\circ / 2 = 50^\circ$.

Итак, два угла параллелограмма равны по $50^\circ$. Находим вторую пару углов $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Таким образом, два других угла равны по $130^\circ$.
Ответ: два угла по $50^\circ$ и два угла по $130^\circ$.

в) Сумма двух углов равна $160^\circ$. Это также сумма двух равных противолежащих углов. Пусть каждый из них равен $\alpha$.

$2\alpha = 160^\circ$

Находим $\alpha$: $\alpha = 160^\circ / 2 = 80^\circ$.

Итак, два угла параллелограмма равны по $80^\circ$. Находим вторую пару углов $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Таким образом, два других угла равны по $100^\circ$.
Ответ: два угла по $80^\circ$ и два угла по $100^\circ$.

35. Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если:

а) одна сторона на 2 см больше другой;

б) разность двух сторон равна 6 см;

в) одна из сторон в два раза больше другой.

Пусть смежные стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи, периметр равен 48 см. Отсюда мы можем найти сумму двух смежных сторон:

$2(a+b) = 48$

$a+b = \frac{48}{2}$

$a+b = 24$ см.

Это соотношение мы будем использовать для решения всех подпунктов задачи.

а) По условию, одна сторона на 2 см больше другой. Пусть меньшая сторона $a = x$ см, тогда большая сторона $b = x + 2$ см. Подставим эти выражения в нашу формулу для суммы сторон:

$x + (x+2) = 24$

$2x + 2 = 24$

$2x = 24 - 2$

$2x = 22$

$x = 11$ см.

Таким образом, одна сторона равна 11 см, а вторая сторона равна $11 + 2 = 13$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 11 см и 13 см.

б) По условию, разность двух сторон равна 6 см. Пусть стороны равны $a$ и $b$. Мы имеем систему из двух уравнений:

1. $a + b = 24$

2. $a - b = 6$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти сторону $a$:

$(a+b) + (a-b) = 24 + 6$

$2a = 30$

$a = 15$ см.

Теперь подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти сторону $b$:

$15 + b = 24$

$b = 24 - 15$

$b = 9$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 9 см и 15 см.

в) По условию, одна из сторон в два раза больше другой. Пусть меньшая сторона $a = x$ см, тогда большая сторона $b = 2x$ см. Подставим эти выражения в формулу для суммы сторон:

$x + 2x = 24$

$3x = 24$

$x = \frac{24}{3}$

$x = 8$ см.

Таким образом, одна сторона равна 8 см, а вторая сторона равна $2 \cdot 8 = 16$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 8 см и 16 см.

36. Две стороны параллелограмма относятся как $3 : 4$, а периметр его равен $2,8$ м. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть $a$ и $b$ — две смежные стороны параллелограмма. Согласно условию, их отношение равно $3:4$. Это означает, что мы можем выразить длины сторон через некоторый коэффициент пропорциональности $x$:

$a = 3x$

$b = 4x$

Периметр параллелограмма $P$ — это сумма длин всех его сторон. Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, формула для периметра имеет вид:

$P = 2(a + b)$

Из условия задачи известно, что периметр равен 2,8 м. Подставим наши выражения для сторон и значение периметра в формулу, чтобы составить уравнение:

$2(3x + 4x) = 2,8$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$2(7x) = 2,8$

$14x = 2,8$

$x = \frac{2,8}{14}$

$x = 0,2$ м.

Мы нашли коэффициент пропорциональности. Теперь можем вычислить длины сторон параллелограмма, подставив значение $x$:

Первая сторона: $a = 3x = 3 \cdot 0,2 = 0,6$ м.

Вторая сторона: $b = 4x = 4 \cdot 0,2 = 0,8$ м.

Таким образом, две стороны параллелограмма имеют длину 0,6 м, а две другие — 0,8 м.

Ответ: стороны параллелограмма равны 0,6 м и 0,8 м.

37. В прямоугольнике острый угол между его диагоналями равен $50^\circ$. Найдите углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник, обозначим его вершины как A, B, C, D. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

По свойству диагоналей прямоугольника, они равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC = BO = OD$. Это означает, что треугольники, образованные пересечением диагоналей ($\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$), являются равнобедренными.

По условию, острый угол между диагоналями равен $50^\circ$. Пусть $\angle AOB = 50^\circ$. Этот угол является углом при вершине равнобедренного треугольника $\triangle AOB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Для $\triangle AOB$ с основанием AB, углы $\angle OAB$ и $\angle OBA$ равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти эти углы:

$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - \angle AOB) / 2 = (180^\circ - 50^\circ) / 2 = 130^\circ / 2 = 65^\circ$.

Эти углы ($\angle OAB$ и $\angle OBA$) являются углами, которые диагонали AC и BD образуют со стороной AB.

Теперь найдем углы, которые диагонали образуют с другой стороной, например, со стороной BC. Для этого рассмотрим $\triangle BOC$.

Угол $\angle BOC$ является смежным с углом $\angle AOB$, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

$\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Треугольник $\triangle BOC$ также равнобедренный ($BO = CO$), поэтому углы при его основании BC равны: $\angle OBC = \angle OCB$. Найдем их:

$\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - \angle BOC) / 2 = (180^\circ - 130^\circ) / 2 = 50^\circ / 2 = 25^\circ$.

Эти углы ($\angle OBC$ и $\angle OCB$) являются углами, которые диагонали BD и AC образуют со стороной BC.

Таким образом, диагонали образуют со сторонами прямоугольника две пары углов.

Проверка: Угол прямоугольника при вершине B, $\angle ABC$, должен быть равен $90^\circ$. Он состоит из двух найденных нами углов: $\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 65^\circ + 25^\circ = 90^\circ$. Расчеты верны.

Ответ: диагонали образуют со сторонами прямоугольника углы $25^\circ$ и $65^\circ$.