Страница 9 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Простая замкнутая ломаная имеет 20 сторон. Сколько у нее вершин?

Простая замкнутая ломаная линия по определению является многоугольником. Основное свойство любого многоугольника, а следовательно, и любой простой замкнутой ломаной, заключается в том, что количество его вершин всегда равно количеству его сторон.

Чтобы это доказать, рассмотрим ломаную с $n$ вершинами. Обозначим их последовательно $V_1, V_2, \ldots, V_n$. Стороны (или звенья) этой ломаной — это отрезки, соединяющие соседние вершины: $[V_1V_2], [V_2V_3], \ldots, [V_{n-1}V_n]$. Поскольку ломаная является замкнутой, последняя вершина $V_n$ соединена с первой вершиной $V_1$, что образует еще одну, $n$-ю сторону $[V_nV_1]$. Таким образом, у замкнутой ломаной с $n$ вершинами имеется ровно $n$ сторон.

Из этого следует, что для любой простой замкнутой ломаной, если число сторон равно $S$, а число вершин равно $V$, то справедливо равенство $V = S$.

В условии задачи указано, что ломаная имеет 20 сторон. Следовательно, количество вершин у нее также составляет 20.

Ответ: 20

26. Изобразите замкнутую пятистороннюю ломаную, которая имеет:

а) две точки самопересечения;

б) три точки самопересечения;

в) пять точек самопересечения.

Замкнутая пятисторонняя ломаная линия определяется пятью вершинами, например, A, B, C, D, E, и пятью отрезками, соединяющими их последовательно: AB, BC, CD, DE, EA. Точка самопересечения — это точка, в которой пересекаются два несмежных отрезка ломаной. Для пятисторонней ломаной существует 5 пар несмежных отрезков: (AB, CD), (AB, DE), (BC, DE), (BC, EA), (CD, EA). Таким образом, максимальное число точек самопересечения равно 5.

а) две точки самопересечения

Чтобы получить две точки самопересечения, можно взять четыре вершины, образующие выпуклый четырехугольник (например, прямоугольник), и пятую вершину расположить так, чтобы она создавала "крышу". Затем соединить вершины в неочевидном порядке.

Рассмотрим вершины A, B, C, D, образующие прямоугольник, и вершину E над ним. Соединим их в последовательности A → C → E → B → D → A.

Пример такого построения показан на рисунке ниже. Вершины обозначены как A, B, C, D, E. Ломаная состоит из отрезков AC, CE, EB, BD, DA. Точки самопересечения P₁ и P₂ являются результатом пересечения отрезка BD с отрезками AC и CE.

Ответ: Изображение представлено выше.

б) три точки самопересечения

Для получения трех точек самопересечения можно построить ломаную, которая образует "петлю". Вершины A, B, C, D, E располагаются таким образом, что часть ломаной (например, отрезки BC, CD, DE) создает сложную структуру, пересекающую другие ее части.

На рисунке ниже показан пример ломаной с тремя точками самопересечения. Здесь отрезки BC, CD и EA пересекаются между собой, образуя три точки P₁, P₂ и P₃:

• P₁ = BC ∩ EA
• P₂ = BC ∩ DE
• P₃ = CD ∩ EA

Ответ: Изображение представлено выше.

в) пять точек самопересечения

Максимально возможное число точек самопересечения для пятисторонней ломаной равно пяти. Такая фигура хорошо известна как пентаграмма или пятиконечная звезда. Ее можно получить, если расположить вершины A, B, C, D, E как вершины выпуклого пятиугольника и соединить их "через одну", например, в последовательности A → C → E → B → D → A.

В этом случае каждая пара несмежных сторон пересекается. Например, для последовательности A→B→C→D→E→A, если расположить вершины в виде пентаграммы, то получится 5 пересечений. Каждая сторона пересекает две другие несмежные стороны.

На рисунке ниже показана такая ломаная.

Ответ: Изображение представлено выше.

27. Нарисуйте правильный: а) треугольник; б) четырехугольник; в) пятиугольник; г) шестиугольник. Проверьте правильность нарисованных многоугольников с помощью линейки и транспортира.

Чтобы нарисовать правильный многоугольник, необходимо знать его основные свойства: равенство всех сторон и равенство всех углов. Величину внутреннего угла правильного n-угольника можно рассчитать по формуле $ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $, где $n$ — количество углов (или сторон). Для построения и проверки нам понадобятся линейка, циркуль и транспортир.

а) треугольник
Правильный треугольник (равносторонний) имеет 3 равные стороны и 3 равных угла. Величина каждого угла составляет $ \frac{(3-2) \cdot 180^\circ}{3} = 60^\circ $.
Как нарисовать:
1. С помощью линейки нарисуйте отрезок AB желаемой длины, например, 5 см.
2. Установите раствор циркуля равным длине отрезка AB.
3. Проведите дугу с центром в точке A, а затем дугу с центром в точке B, не меняя раствора циркуля.
4. Точку пересечения дуг обозначьте как C.
5. Соедините отрезками точки A и C, а также B и C. Полученный треугольник ABC будет правильным.
Как проверить:
1. С помощью линейки измерьте длины всех сторон: AB, BC и CA. Они должны быть равны между собой.
2. С помощью транспортира измерьте величину каждого угла: ∠A, ∠B и ∠C. Каждый угол должен быть равен $60^\circ$.
Ответ: Для проверки правильности треугольника нужно с помощью линейки убедиться, что все три его стороны равны, а с помощью транспортира — что все три его угла равны $60^\circ$.

б) четырехугольник
Правильный четырехугольник — это квадрат. У него 4 равные стороны и 4 равных угла. Величина каждого угла составляет $ \frac{(4-2) \cdot 180^\circ}{4} = 90^\circ $.
Как нарисовать:
1. С помощью линейки нарисуйте отрезок AB желаемой длины, например, 4 см.
2. С помощью транспортира или угольника в точке A постройте перпендикулярный к AB луч.
3. Отложите на этом луче отрезок AD, равный по длине AB.
4. Аналогично в точке B постройте перпендикуляр и отложите на нем отрезок BC, равный AB.
5. Соедините точки C и D. Полученный четырехугольник ABCD будет квадратом.
Как проверить:
1. С помощью линейки измерьте длины всех сторон: AB, BC, CD и DA. Они должны быть равны.
2. С помощью транспортира измерьте величину каждого угла: ∠A, ∠B, ∠C и ∠D. Каждый угол должен быть равен $90^\circ$.
Ответ: Для проверки правильности четырехугольника нужно с помощью линейки убедиться, что все четыре его стороны равны, а с помощью транспортира — что все четыре его угла равны $90^\circ$.

в) пятиугольник
Правильный пятиугольник имеет 5 равных сторон и 5 равных углов. Величина каждого угла составляет $ \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ $.
Как нарисовать:
1. Нарисуйте отрезок AB желаемой длины, например, 3 см.
2. В точке B с помощью транспортира отложите угол в $108^\circ$ по внутреннюю сторону будущего многоугольника.
3. На полученном луче отложите отрезок BC той же длины, что и AB.
4. Повторите операцию в точке C: отложите угол $108^\circ$ и начертите отрезок CD равной длины.
5. Продолжайте аналогично, пока не построите все стороны. Последняя точка E должна соединиться с начальной точкой A.
Как проверить:
1. С помощью линейки измерьте длины всех пяти сторон. Они должны быть равны.
2. С помощью транспортира измерьте величину каждого из пяти внутренних углов. Каждый угол должен быть равен $108^\circ$.
Ответ: Для проверки правильности пятиугольника нужно с помощью линейки убедиться, что все пять его сторон равны, а с помощью транспортира — что все пять его углов равны $108^\circ$.

г) шестиугольник
Правильный шестиугольник имеет 6 равных сторон и 6 равных углов. Величина каждого угла составляет $ \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ $. Его проще всего построить с помощью циркуля.
Как нарисовать:
1. С помощью циркуля нарисуйте окружность с желаемым радиусом R, например, 4 см.
2. Отметьте на окружности произвольную точку A — это будет первая вершина.
3. Не меняя раствор циркуля (он должен оставаться равным радиусу R), установите его ножку в точку A и сделайте на окружности отметку. Это будет вторая вершина, B.
4. Переставьте ножку циркуля в точку B и сделайте следующую отметку на окружности, чтобы получить точку C.
5. Повторяйте этот шаг, пока не получите 6 вершин (A, B, C, D, E, F).
6. Соедините все вершины последовательно с помощью линейки. Полученный шестиугольник ABCDEF будет правильным.
Как проверить:
1. С помощью линейки измерьте длины всех шести сторон. Они должны быть равны между собой (и равны радиусу описанной окружности).
2. С помощью транспортира измерьте величину каждого из шести внутренних углов. Каждый угол должен быть равен $120^\circ$.
Ответ: Для проверки правильности шестиугольника нужно с помощью линейки убедиться, что все шесть его сторон равны, а с помощью транспортира — что все шесть его углов равны $120^\circ$.

28. На сколько треугольников делится выпуклый:
а) четырехугольник;
б) пятиугольник;
в) шестиугольник;
г) $n$-угольник своими диагоналями, проведенными из одной вершины?

а) четырехугольник

В выпуклом четырехугольнике 4 вершины ($n=4$). Из одной вершины можно провести диагональ только к одной противолежащей (не смежной) вершине. Таким образом, из одной вершины можно провести $4-3=1$ диагональ. Эта единственная диагональ делит четырехугольник на 2 треугольника.

Ответ: 2.

б) пятиугольник

В выпуклом пятиугольнике 5 вершин ($n=5$). Из одной вершины можно провести диагонали ко всем другим вершинам, кроме двух соседних и самой себя. Следовательно, можно провести $5-3=2$ диагонали. Эти две диагонали разделяют пятиугольник на 3 треугольника.

Ответ: 3.

в) шестиугольник

В выпуклом шестиугольнике 6 вершин ($n=6$). Из одной вершины можно провести $6-3=3$ диагонали. Эти три диагонали разделяют шестиугольник на 4 треугольника.

Ответ: 4.

г) n-угольник

Рассмотрим выпуклый $n$-угольник. Он имеет $n$ вершин. Выберем одну произвольную вершину. Из этой вершины можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, за исключением самой себя и двух смежных с ней вершин. Таким образом, из одной вершины можно провести $k = n-3$ диагонали.

Каждая проведенная диагональ делит одну из существующих областей на две, то есть увеличивает общее количество областей на единицу. Изначально у нас есть одна область (сам $n$-угольник). После проведения $k$ диагоналей из одной вершины общее число областей (треугольников) станет равным $k+1$.

Подставив значение $k = n-3$, получим количество треугольников: $N = k+1 = (n-3)+1 = n-2$.

Итак, выпуклый $n$-угольник делится на $n-2$ треугольника диагоналями, проведенными из одной вершины.

Ответ: $n-2$.

лими, проведенный по одной вершины:

29. Сколько всего диагоналей имеет:

а) четырехугольник;

б) пятиугольник;

в) шестиугольник?

Для определения общего количества диагоналей в многоугольнике можно использовать общую формулу. Диагональ — это отрезок, который соединяет две несоседние вершины многоугольника.

В многоугольнике с $n$ вершинами из каждой вершины можно провести диагональ ко всем остальным вершинам, за исключением самой себя и двух соседних. Таким образом, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.

Если умножить количество вершин $n$ на количество диагоналей, выходящих из одной вершины $(n-3)$, мы получим $n(n-3)$. В этом произведении каждая диагональ учтена дважды (по разу для каждой из своих вершин). Поэтому, чтобы найти истинное число диагоналей $D$, это произведение необходимо разделить на 2.

Общая формула для вычисления количества диагоналей в $n$-угольнике:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Теперь применим эту формулу для каждого случая.

а) четырехугольник

Для четырехугольника количество вершин $n = 4$. Подставим это значение в нашу формулу:

$D = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \times 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, в четырехугольнике всего 2 диагонали.

Ответ: 2

б) пятиугольник

Для пятиугольника количество вершин $n = 5$. Подставим это значение в формулу:

$D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, в пятиугольнике всего 5 диагоналей.

Ответ: 5

в) шестиугольник

Для шестиугольника количество вершин $n = 6$. Подставим это значение в формулу:

$D = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Таким образом, в шестиугольнике всего 9 диагоналей.

Ответ: 9

30. Чему равны углы правильного:

а) треугольника;

б) четырехугольника;

в) пятиугольника;

г) шестиугольника?

Для нахождения величины внутреннего угла правильного n-угольника используется формула, которая выводится из формулы суммы углов многоугольника $(n-2) \times 180^\circ$. Так как у правильного многоугольника все $n$ углов равны, величина одного угла $\alpha$ вычисляется как:

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника.

а) треугольника;

Правильный треугольник (равносторонний) имеет 3 стороны ($n=3$).

Подставим $n=3$ в формулу:

$\alpha = \frac{(3-2) \times 180^\circ}{3} = \frac{1 \times 180^\circ}{3} = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.

б) четырехугольника;

Правильный четырехугольник (квадрат) имеет 4 стороны ($n=4$).

Подставим $n=4$ в формулу:

$\alpha = \frac{(4-2) \times 180^\circ}{4} = \frac{2 \times 180^\circ}{4} = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$.

в) пятиугольника;

Правильный пятиугольник имеет 5 сторон ($n=5$).

Подставим $n=5$ в формулу:

$\alpha = \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = \frac{3 \times 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$

Ответ: $108^\circ$.

г) шестиугольника?

Правильный шестиугольник имеет 6 сторон ($n=6$).

Подставим $n=6$ в формулу:

$\alpha = \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

31. Сумма углов выпуклого многоугольника равна $900^\circ$. Сколько у него сторон?

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы внутренних углов выпуклого многоугольника: $S = 180^\circ \times (n-2)$, где $S$ — сумма углов, а $n$ — количество сторон многоугольника.

По условию задачи известно, что сумма углов $S$ равна $900^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$900^\circ = 180^\circ \times (n-2)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$. Для этого разделим обе части уравнения на $180^\circ$:

$n-2 = \frac{900^\circ}{180^\circ}$

$n-2 = 5$

Перенесем 2 в правую часть уравнения, изменив знак:

$n = 5 + 2$

$n = 7$

Следовательно, у данного выпуклого многоугольника 7 сторон.

Ответ: 7

32. Найдите внешние углы правильного:

а) четырехугольника;

б) пятиугольника;

в) шестиугольника;

г) восьмиугольника.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$. У правильного многоугольника все стороны и все углы равны, следовательно, все внешние углы также равны между собой. Чтобы найти величину одного внешнего угла правильного n-угольника, нужно разделить $360^\circ$ на количество его сторон (или углов) $n$.

Формула для нахождения внешнего угла правильного n-угольника: $ \alpha_{внешн.} = \frac{360^\circ}{n} $.

а) Для правильного четырехугольника (квадрата) количество сторон $n=4$.
Внешний угол равен $ \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ $.
Ответ: $90^\circ$.

б) Для правильного пятиугольника количество сторон $n=5$.
Внешний угол равен $ \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ $.
Ответ: $72^\circ$.

в) Для правильного шестиугольника количество сторон $n=6$.
Внешний угол равен $ \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ $.
Ответ: $60^\circ$.

г) Для правильного восьмиугольника количество сторон $n=8$.
Внешний угол равен $ \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ $.
Ответ: $45^\circ$.