Страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Изобразите пять прямых так, чтобы у них было десять точек попарных пересечений.

1. Чтобы пять прямых имели десять точек попарных пересечений, необходимо и достаточно, чтобы они были расположены в так называемом общем положении. Это означает, что должны выполняться два условия:
1. Никакие две прямые не должны быть параллельны (то есть каждая пара прямых должна пересекаться).
2. Никакие три (или более) прямые не должны пересекаться в одной и той же точке.

При выполнении этих условий количество точек пересечения для $n$ прямых будет максимальным и будет равно числу сочетаний из $n$ по 2, которое вычисляется по формуле:
$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Для пяти прямых (при $n=5$) максимальное и требуемое в задаче число точек пересечения составляет:
$C_5^2 = \frac{5 \cdot (5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$ точек.

Таким образом, задача состоит в том, чтобы изобразить 5 прямых в общем положении. Классическим примером такого расположения являются прямые, на которых лежат диагонали правильного выпуклого пятиугольника. Эти пять прямых образуют фигуру, известную как пентаграмма (пятиконечная звезда). У этих прямых ровно 10 точек пересечения: 5 точек являются вершинами исходного пятиугольника, а остальные 5 — вершинами внутреннего, меньшего пятиугольника, который образуется в центре.

Ниже представлено такое изображение. Пять линий пересекаются в десяти точках, отмеченных красным цветом.


Ответ: Необходимо начертить пять прямых так, чтобы никакие две из них не были параллельны и никакие три не пересекались в одной точке. Примером может служить изображение пентаграммы, образованной пятью прямыми, на которых лежат диагонали правильного пятиугольника.

2. На прямой отмечены:

а) 3 точки;

б) 4 точки;

в) 5 точек;

г) * $n$ точек.

Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

а) Чтобы образовать отрезок, нужно выбрать две точки, которые будут его концами. Порядок выбора точек не важен (отрезок АВ и ВА — это один и тот же отрезок). Следовательно, задача сводится к нахождению числа сочетаний из 3 точек по 2.
Можно перечислить все возможные пары точек. Пусть точки обозначены как 1, 2, 3. Тогда возможные отрезки: (1, 2), (1, 3), (2, 3). Всего получается 3 отрезка.
Или можно использовать формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n(n-1)}{2}$ для $k=2$:
$C_3^2 = \frac{3 \cdot (3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$.
Ответ: 3.

б) Для 4 точек на прямой количество отрезков равно числу сочетаний из 4 по 2.
Используем ту же логику. Из первой точки можно провести 3 отрезка к остальным трем. Из второй точки — 2 новых отрезка (отрезок к первой точке уже учтен). Из третьей точки — 1 новый отрезок. Итого: $3 + 2 + 1 = 6$.
По формуле:
$C_4^2 = \frac{4 \cdot (4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.
Ответ: 6.

в) Для 5 точек на прямой количество отрезков равно числу сочетаний из 5 по 2.
По формуле:
$C_5^2 = \frac{5 \cdot (5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.
Ответ: 10.

г) В общем случае, для $n$ точек на прямой количество отрезков с концами в этих точках равно числу способов выбрать 2 точки из $n$. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по 2.
Формула для числа сочетаний из $n$ по 2 имеет вид:
$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.
Эта формула является обобщением для всех предыдущих случаев.
Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$.

3. На прямой последовательно отложены три отрезка: $AB$, $BC$ и $CD$ так, что $AB = 3$ см, $BC = 5$ см, $CD = 4$ см. Найдите расстояние между серединами отрезков $AB$ и $CD$.

Пусть на прямой последовательно расположены точки A, B, C и D. Обозначим середину отрезка AB точкой M, а середину отрезка CD точкой N. Требуется найти расстояние между точками M и N, то есть длину отрезка MN.

Отрезок MN состоит из трех последовательных частей: второй половины отрезка AB (отрезок MB), всего отрезка BC и первой половины отрезка CD (отрезок CN). Таким образом, длина отрезка MN равна сумме длин отрезков MB, BC и CN.

1. Найдем длину отрезка MB. Точка M является серединой отрезка AB, поэтому длина отрезка MB составляет половину длины отрезка AB.

$MB = \frac{AB}{2} = \frac{3 \text{ см}}{2} = 1,5 \text{ см}$

2. Длина отрезка BC дана по условию задачи.

$BC = 5 \text{ см}$

3. Найдем длину отрезка CN. Точка N является серединой отрезка CD, поэтому длина отрезка CN составляет половину длины отрезка CD.

$CN = \frac{CD}{2} = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см}$

4. Теперь сложим длины этих трех отрезков, чтобы найти искомое расстояние MN.

$MN = MB + BC + CN = 1,5 \text{ см} + 5 \text{ см} + 2 \text{ см} = 8,5 \text{ см}$

Ответ: 8,5 см.

4. На сколько частей разбивают плоскость $n$ прямых, пересекающихся в одной точке?

Рассмотрим задачу последовательно, увеличивая количество прямых.

Когда на плоскости проведена одна прямая ($n=1$), она делит плоскость на 2 части.

Когда мы проводим вторую прямую ($n=2$), пересекающую первую в одной точке, она делит каждую из двух первоначальных частей, создавая в итоге 4 части (4 угла с вершиной в точке пересечения).

Добавим третью прямую ($n=3$), проходящую через ту же точку. Она пройдет через две из четырех существующих областей (через пару вертикальных углов) и разделит каждую из них надвое. Таким образом, количество областей увеличится на 2 и станет равным $4 + 2 = 6$.

Можно заметить общую закономерность. Пусть у нас уже есть $k-1$ прямых, которые пересекаются в одной точке. Они делят плоскость на некоторое количество частей. Когда мы добавляем $k$-ю прямую, она обязательно проходит через общую точку пересечения. Эта новая прямая состоит из двух лучей, которые разделяют две противолежащие (вертикальные) области. Следовательно, каждая новая прямая увеличивает общее количество частей на 2.

Обозначим количество частей через $L(n)$, где $n$ — количество прямых.Мы имеем рекуррентное соотношение: $L(n) = L(n-1) + 2$ для $n > 1$.Начальное условие: $L(1) = 2$.
Исходя из этого, получаем последовательность:
$L(1) = 2$
$L(2) = 2 + 2 = 4$
$L(3) = 4 + 2 = 6$
Это арифметическая прогрессия, для которой легко вывести общую формулу: $L(n) = 2n$.

Альтернативное рассуждение: $n$ прямых, пересекающихся в одной точке, можно рассматривать как $2n$ лучей, исходящих из этой точки. Эти $2n$ лучей делят полный угол в $360^{\circ}$ вокруг точки пересечения на $2n$ угловых секторов. Каждый такой сектор и является одной из частей, на которые прямые разбивают плоскость.

Следовательно, $n$ прямых, пересекающихся в одной точке, разбивают плоскость на $2n$ частей.

Ответ: $2n$.

5. Сумма трех углов, образованных при пересечении двух прямых, равна $306^{\circ}$. Найдите больший из них.

5. При пересечении двух прямых образуется всего четыре угла. Сумма этих четырех углов всегда составляет $360^\circ$.

Пусть образовавшиеся углы — это $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$. Тогда их сумма $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^\circ$.

Согласно условию задачи, сумма трех из этих углов равна $306^\circ$. Предположим, что $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 306^\circ$.

Чтобы найти величину четвертого угла ($\angle 4$), нужно вычесть сумму трех известных углов из общей суммы всех четырех углов:

$\angle 4 = 360^\circ - (\angle 1 + \angle 2 + \angle 3) = 360^\circ - 306^\circ = 54^\circ$.

Итак, один из углов равен $54^\circ$. При пересечении двух прямых образуются пары вертикальных и смежных углов. Углы, вертикальные к $\angle 4$, также равны $54^\circ$.

Углы, смежные с углом в $54^\circ$, в сумме с ним дают $180^\circ$. Найдем величину смежного угла:

$180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$.

Таким образом, при пересечении данных прямых образуются две пары углов: два угла по $54^\circ$ и два угла по $126^\circ$.

Самый большой из этих углов — это $126^\circ$.

Проверим исходное условие: сумма трех углов должна быть $306^\circ$. Если мы сложим два больших угла и один маленький, получим: $126^\circ + 126^\circ + 54^\circ = 306^\circ$. Условие выполняется.

Ответ: $126^\circ$.

6. Луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$, равного $120^\circ$. Найдите угол $AOC$, если он на $30^\circ$ меньше угла $BOC$.

Согласно условию, луч OC делит угол AOB на два угла: AOC и BOC. Следовательно, величина угла AOB равна сумме величин углов AOC и BOC.

Это можно записать в виде равенства: $ \angle AOB = \angle AOC + \angle BOC $.

По условию $ \angle AOB = 120^\circ $. Также нам известно, что угол AOC на $30^\circ$ меньше угла BOC. Давайте введем переменную. Пусть $ \angle AOC = x $. Тогда, исходя из условия, $ \angle BOC = x + 30^\circ $.

Теперь подставим все известные значения в наше первоначальное равенство:

$ 120^\circ = x + (x + 30^\circ) $

Решим это линейное уравнение, чтобы найти $x$:

$ 120 = 2x + 30 $

Перенесем 30 в левую часть уравнения, изменив знак:

$ 120 - 30 = 2x $

$ 90 = 2x $

Найдем $x$:

$ x = \frac{90}{2} $

$ x = 45 $

Так как за $x$ мы принимали величину угла AOC, то $ \angle AOC = 45^\circ $.

Ответ: $45^\circ$

7. Найдите градусные величины двух смежных углов, если один из них в два раза больше другого.

По определению, сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Обозначим градусную меру меньшего угла как $x$.

Согласно условию задачи, второй угол в два раза больше первого, значит его градусная мера равна $2x$.

Составим уравнение, используя свойство смежных углов:

$x + 2x = 180^\circ$

Решим полученное уравнение:

$3x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{3}$

$x = 60^\circ$

Таким образом, мы нашли меньший угол. Его величина составляет $60^\circ$.

Теперь найдем величину большего угла:

$2x = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

Проверка: $60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. Условие выполняется.

Ответ: градусные величины двух смежных углов равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

8. Общей частью двух углов $AOB$ и $COD$, величиной $60^\circ$ и $90^\circ$ соответственно, является угол $BOC$, величиной $30^\circ$. Найдите угол $AOD$.

По условию задачи даны два угла, $∠AOB$ и $∠COD$, и их общая часть, угол $∠BOC$. Нам известны их величины:

$∠AOB = 60°$

$∠COD = 90°$

$∠BOC = 30°$

Тот факт, что угол $∠BOC$ является общей частью (пересечением) углов $∠AOB$ и $∠COD$, означает, что эти углы накладываются друг на друга. Угол $∠AOD$, который нам нужно найти, является объединением углов $∠AOB$ и $∠COD$. Он состоит из трех смежных углов: $∠AOC$, $∠BOC$ и $∠BOD$.

Таким образом, величину угла $∠AOD$ можно найти как сумму величин этих трех углов:

$∠AOD = ∠AOC + ∠BOC + ∠BOD$

Чтобы найти $∠AOD$, нам нужно сначала вычислить величины углов $∠AOC$ и $∠BOD$.

1. Найдем величину угла $∠AOC$. Угол $∠AOB$ состоит из двух углов: $∠AOC$ и $∠BOC$. Следовательно:

$∠AOB = ∠AOC + ∠BOC$

Подставляем известные значения:

$60° = ∠AOC + 30°$

Отсюда находим $∠AOC$:

$∠AOC = 60° - 30° = 30°$

2. Найдем величину угла $∠BOD$. Угол $∠COD$ состоит из двух углов: $∠BOC$ и $∠BOD$. Следовательно:

$∠COD = ∠BOC + ∠BOD$

Подставляем известные значения:

$90° = 30° + ∠BOD$

Отсюда находим $∠BOD$:

$∠BOD = 90° - 30° = 60°$

3. Теперь, когда мы знаем величины всех трех составляющих углов, мы можем найти величину угла $∠AOD$:

$∠AOD = ∠AOC + ∠BOC + ∠BOD$

$∠AOD = 30° + 30° + 60° = 120°$

Также эту задачу можно решить, используя формулу для объединения множеств. Величина угла, образованного объединением двух углов, равна сумме их величин минус величина их общей части:

$∠AOD = ∠AOB + ∠COD - ∠BOC$

$∠AOD = 60° + 90° - 30° = 150° - 30° = 120°$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $120°$.

9. Колесо имеет:
а) 10 спиц;
б) 12 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

10. На сколько градусов повернется минутная стрелка за
а) 20 мини

а) Полный круг составляет $360^\circ$. Спицы в колесе расположены равномерно и делят этот круг на равные углы, количество которых равно количеству спиц. Чтобы найти величину угла между двумя соседними спицами, необходимо разделить градусную меру полной окружности на количество спиц. Для колеса с 10 спицами расчет будет следующим:$360^\circ \div 10 = 36^\circ$.Ответ: $36^\circ$.

б) По аналогии с предыдущим пунктом, для нахождения угла между соседними спицами в колесе с 12 спицами, мы делим $360^\circ$ на 12:$360^\circ \div 12 = 30^\circ$.Ответ: $30^\circ$.

10. На сколько градусов повернется минутная стрелка за:

а) 20 мин;

б) 10 мин;

в) 50 мин?

Для решения этой задачи необходимо определить, на какой угол поворачивается минутная стрелка за одну минуту. Полный оборот по циферблату составляет $360^\circ$. Минутная стрелка совершает полный оборот за 60 минут.

Чтобы найти, на сколько градусов стрелка поворачивается за одну минуту, нужно разделить общее количество градусов в окружности на количество минут в часе:
$ \frac{360^\circ}{60 \text{ мин}} = 6^\circ/\text{мин} $

Таким образом, за каждую минуту минутная стрелка поворачивается на $6^\circ$. Теперь можно рассчитать угол поворота для каждого из указанных промежутков времени.

а) За 20 мин минутная стрелка повернется на:
$ 20 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 120^\circ $
Ответ: на $120^\circ$.

б) За 10 мин минутная стрелка повернется на:
$ 10 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 60^\circ $
Ответ: на $60^\circ$.

в) За 50 мин минутная стрелка повернется на:
$ 50 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 300^\circ $
Ответ: на $300^\circ$.