Страница 7 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Нарисуйте:
а) остроугольный треугольник $ABC$;
б) прямоугольный треугольник $ABC$;
в) тупоугольный треугольник $ABC$. Проведите медианы, биссектрисы и высоты этих треугольников.

Для решения задачи необходимо вспомнить определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника, а также их свойства в зависимости от вида треугольника. Каждое построение выполняется для произвольного треугольника $ABC$ соответствующего вида.

• Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Все три медианы всегда пересекаются в одной точке внутри треугольника (эта точка называется центроидом или центром масс треугольника).
• Биссектриса – это отрезок, который делит угол треугольника на два равных угла и соединяет вершину этого угла с точкой на противоположной стороне. Все три биссектрисы всегда пересекаются в одной точке внутри треугольника (эта точка является центром вписанной окружности).
• Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (эта точка называется ортоцентром).

а) Остроугольный треугольник ABC

Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого все три угла острые (то есть меньше $90^\circ$).

1. Построение треугольника. Нарисуем треугольник $ABC$, у которого $\angle A < 90^\circ$, $\angle B < 90^\circ$ и $\angle C < 90^\circ$.

2. Проведение медиан. Для проведения медиан находим середины каждой стороны и соединяем их с противоположными вершинами.- Находим точку $M_a$ – середину стороны $BC$. Отрезок $AM_a$ – медиана.- Находим точку $M_b$ – середину стороны $AC$. Отрезок $BM_b$ – медиана.- Находим точку $M_c$ – середину стороны $AB$. Отрезок $CM_c$ – медиана.Все три медианы ($AM_a, BM_b, CM_c$) полностью лежат внутри треугольника и пересекаются в одной точке также внутри него.

3. Проведение биссектрис. Для проведения биссектрис делим каждый угол пополам и проводим отрезок от вершины до пересечения с противоположной стороной.- Проводим биссектрису $AL_a$ угла $A$ к стороне $BC$.- Проводим биссектрису $BL_b$ угла $B$ к стороне $AC$.- Проводим биссектрису $CL_c$ угла $C$ к стороне $AB$.Все три биссектрисы ($AL_a, BL_b, CL_c$) находятся внутри треугольника и пересекаются в одной точке внутри него.

4. Проведение высот. Для проведения высот из каждой вершины опускаем перпендикуляр на противоположную сторону.- Из вершины $A$ опускаем перпендикуляр $AH_a$ на сторону $BC$.- Из вершины $B$ опускаем перпендикуляр $BH_b$ на сторону $AC$.- Из вершины $C$ опускаем перпендикуляр $CH_c$ на сторону $AB$.В остроугольном треугольнике все основания высот ($H_a, H_b, H_c$) лежат на сторонах треугольника. Таким образом, все три высоты находятся внутри треугольника и пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая также расположена внутри треугольника.

Ответ: В остроугольном треугольнике все медианы, биссектрисы и высоты, а также их точки пересечения (центроид, инцентр и ортоцентр), находятся внутри треугольника.

б) Прямоугольный треугольник ABC

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол прямой ($90^\circ$). Пусть $\angle C = 90^\circ$. Стороны $AC$ и $BC$ – катеты, $AB$ – гипотенуза.

1. Построение треугольника. Нарисуем треугольник $ABC$ так, чтобы угол при вершине $C$ был прямым.

2. Проведение медиан. Медианы строятся так же, как в любом другом треугольнике. Они все лежат внутри и пересекаются в одной точке внутри треугольника. Стоит отметить, что медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе ($CM_c$), равна половине гипотенузы.

3. Проведение биссектрис. Биссектрисы также строятся стандартно, лежат внутри треугольника и пересекаются в одной точке внутри него.

4. Проведение высот. Здесь есть особенности:- Высота из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$ – это перпендикуляр $CH_c$. Эта высота находится внутри треугольника.- Высота из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$, – это сам катет $AC$, поскольку катеты перпендикулярны ($AC \perp BC$).- Высота из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$, – это сам катет $BC$, так как $BC \perp AC$.Таким образом, две из трех высот совпадают с катетами треугольника. Точка пересечения всех трех высот (ортоцентр) – это точка $C$, вершина прямого угла.

Ответ: В прямоугольном треугольнике медианы и биссектрисы находятся внутри. Две высоты совпадают с катетами, а третья (проведенная к гипотенузе) находится внутри треугольника. Ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.

в) Тупоугольный треугольник ABC

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой (больше $90^\circ$). Пусть $\angle C > 90^\circ$.

1. Построение треугольника. Нарисуем треугольник $ABC$ так, чтобы угол при вершине $C$ был тупым.

2. Проведение медиан. Медианы строятся стандартно, все они лежат внутри треугольника и пересекаются в одной точке внутри него.

3. Проведение биссектрис. Биссектрисы также строятся стандартно, все они лежат внутри треугольника и пересекаются в одной точке внутри него.

4. Проведение высот. Построение высот в тупоугольном треугольнике имеет важные особенности:- Высота из вершины тупого угла $C$ на противоположную сторону $AB$ – это перпендикуляр $CH_c$. Эта высота лежит внутри треугольника.- Высота из вершины острого угла $A$ опускается на прямую, содержащую сторону $BC$. Поскольку угол $C$ тупой, основание перпендикуляра $H_a$ окажется не на отрезке $BC$, а на его продолжении за вершину $C$. Таким образом, высота $AH_a$ находится вне треугольника.- Аналогично, высота из вершины острого угла $B$ опускается на прямую, содержащую сторону $AC$. Основание перпендикуляра $H_b$ окажется на продолжении стороны $AC$ за вершину $C$. Эта высота $BH_b$ также будет лежать вне треугольника.Прямые, содержащие все три высоты, пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая в тупоугольном треугольнике всегда находится вне его самого.

Ответ: В тупоугольном треугольнике медианы и биссектрисы находятся внутри. Высота, проведенная из вершины тупого угла, находится внутри треугольника, а две другие высоты (из вершин острых углов) – вне треугольника. Ортоцентр (точка пересечения прямых, содержащих высоты) также лежит вне треугольника.