Номер 37, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Повторение курса геометрии для 7—9 классов - номер 37, страница 10.

Условия.

37. В прямоугольнике острый угол между его диагоналями равен $50^\circ$. Найдите углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника.

Решение.

Решение 2.

Пусть дан прямоугольник, обозначим его вершины как A, B, C, D. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

По свойству диагоналей прямоугольника, они равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC = BO = OD$. Это означает, что треугольники, образованные пересечением диагоналей ($\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$), являются равнобедренными.

По условию, острый угол между диагоналями равен $50^\circ$. Пусть $\angle AOB = 50^\circ$. Этот угол является углом при вершине равнобедренного треугольника $\triangle AOB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Для $\triangle AOB$ с основанием AB, углы $\angle OAB$ и $\angle OBA$ равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти эти углы:

$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - \angle AOB) / 2 = (180^\circ - 50^\circ) / 2 = 130^\circ / 2 = 65^\circ$.

Эти углы ($\angle OAB$ и $\angle OBA$) являются углами, которые диагонали AC и BD образуют со стороной AB.

Теперь найдем углы, которые диагонали образуют с другой стороной, например, со стороной BC. Для этого рассмотрим $\triangle BOC$.

Угол $\angle BOC$ является смежным с углом $\angle AOB$, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

$\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Треугольник $\triangle BOC$ также равнобедренный ($BO = CO$), поэтому углы при его основании BC равны: $\angle OBC = \angle OCB$. Найдем их:

$\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - \angle BOC) / 2 = (180^\circ - 130^\circ) / 2 = 50^\circ / 2 = 25^\circ$.

Эти углы ($\angle OBC$ и $\angle OCB$) являются углами, которые диагонали BD и AC образуют со стороной BC.

Таким образом, диагонали образуют со сторонами прямоугольника две пары углов.

Проверка: Угол прямоугольника при вершине B, $\angle ABC$, должен быть равен $90^\circ$. Он состоит из двух найденных нами углов: $\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 65^\circ + 25^\circ = 90^\circ$. Расчеты верны.

Ответ: диагонали образуют со сторонами прямоугольника углы $25^\circ$ и $65^\circ$.