Номер 38, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

38. Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см, диагонали пересекаются под углом $60^\circ$. Найдите диагонали прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник, меньшая сторона которого равна $a = 5$ см. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

Диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника. Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной и двумя половинами диагоналей. Пусть это будет треугольник $\triangle AOB$, где AB - меньшая сторона прямоугольника, а AO и BO - половины диагоналей. В этом треугольнике $AO = BO$.

При пересечении диагоналей образуются две пары вертикальных углов. Одна пара - острые углы, другая - тупые (если прямоугольник не является квадратом). Сумма смежных углов равна $180^\circ$. По условию, один из углов равен $60^\circ$, значит, смежный с ним угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

В треугольнике напротив меньшей стороны лежит меньший угол. Так как сторона AB является меньшей стороной прямоугольника, то противолежащий ей угол $\angle AOB$ в треугольнике, образованном диагоналями, будет меньшим из двух возможных углов ($60^\circ$ и $120^\circ$). Следовательно, $\angle AOB = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Мы знаем, что он равнобедренный ($AO = BO$) и угол между этими сторонами $\angle AOB = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны:$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - \angle AOB) / 2 = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все три угла в треугольнике $\triangle AOB$ равны $60^\circ$, этот треугольник является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны: $AO = BO = AB$.

По условию задачи, меньшая сторона прямоугольника $AB = 5$ см. Следовательно, половины диагоналей также равны 5 см: $AO = BO = 5$ см.

Длина всей диагонали (например, AC) равна удвоенной длине ее половины (AO):$AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Так как диагонали прямоугольника равны, обе диагонали имеют длину 10 см.

Ответ: 10 см.