Номер 40, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

40. Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма с неравными соседними сторонами при пересечении образуют прямоугольник.

Дано:

ABCD — параллелограмм.
Соседние стороны не равны: $AB \neq BC$.
Проведены биссектрисы углов A, B, C, D.
Пусть K — точка пересечения биссектрис углов A и B,
L — точка пересечения биссектрис углов B и C,
M — точка пересечения биссектрис углов C и D,
N — точка пересечения биссектрис углов D и A.

Доказать:

Четырехугольник KLMN является прямоугольником.

Доказательство:

Для доказательства того, что KLMN является прямоугольником, достаточно показать, что все его внутренние углы равны $90^\circ$.

Рассмотрим угол при вершине K. Этот угол образован пересечением биссектрис углов A и B (назовем их условно AK и BK) и является углом $\angle AKB$ в треугольнике ABK. Сумма углов в треугольнике ABK равна $180^\circ$: $\angle AKB + \angle KAB + \angle KBA = 180^\circ$.

Поскольку AK и BK — биссектрисы, они делят углы параллелограмма A и B пополам: $\angle KAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2}\angle B$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Поэтому $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Теперь найдем величину угла $\angle AKB$: $ \angle AKB = 180^\circ - (\angle KAB + \angle KBA) = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) $.

Подставив значение суммы углов $\angle A + \angle B = 180^\circ$, получаем: $ \angle AKB = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $.

Аналогично находятся и остальные углы четырехугольника KLMN. Рассматривая треугольники BLC, CMD и DNA и используя свойство о сумме соседних углов параллелограмма ($180^\circ$):
Угол L: $\angle BLC = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.
Угол M: $\angle CMD = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D) = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.
Угол N: $\angle DNA = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle D + \angle A) = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.

Так как все углы четырехугольника KLMN ($\angle K, \angle L, \angle M, \angle N$) равны $90^\circ$, то по определению он является прямоугольником.

Условие о неравенстве соседних сторон ($AB \neq BC$) важно, поскольку если бы параллелограмм был ромбом (где $AB = BC$), то его диагонали были бы биссектрисами углов. В этом случае все четыре биссектрисы пересеклись бы в одной точке, и четырехугольник KLMN выродился бы в точку, а не в прямоугольник.

Ответ: Что и требовалось доказать. Четырехугольник, образованный пересечением биссектрис углов параллелограмма с неравными соседними сторонами, является прямоугольником, так как все его углы прямые.