Номер 93, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

93. Определите, какие из перечисленных ниже пар прямых:

а) параллельны;

б) перпендикулярны:

1) $x + y - 2 = 0, x + y + 3 = 0;$

2) $x + y - 2 = 0, x - y - 3 = 0;$

3) $-7x + y = 0, 7x - y + 4 = 0;$

4) $4x - 2y - 8 = 0, -x - 2y + 4 = 0.$

Для определения взаимного расположения прямых, заданных общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, применяются следующие критерии.
Прямые параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ коллинеарны, что выражается в пропорциональности коэффициентов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$. Чтобы прямые не совпадали, это отношение не должно быть равно отношению свободных членов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.
Прямые перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.
Проанализируем каждую из заданных пар прямых.

1) $x + y - 2 = 0$ и $x + y + 3 = 0$.
Здесь $A_1 = 1, B_1 = 1, C_1 = -2$ и $A_2 = 1, B_2 = 1, C_2 = 3$.
Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$ и $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{1} = 1$.
Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$, прямые параллельны. Проверим отношение свободных членов: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-2}{3}$.
Поскольку $1 \neq -\frac{2}{3}$, прямые являются параллельными и не совпадают.

2) $x + y - 2 = 0$ и $x - y - 3 = 0$.
Здесь $A_1 = 1, B_1 = 1$ и $A_2 = 1, B_2 = -1$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0$.
Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

3) $-7x + y = 0$ и $7x - y + 4 = 0$.
Здесь $A_1 = -7, B_1 = 1, C_1 = 0$ и $A_2 = 7, B_2 = -1, C_2 = 4$.
Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{-7}{7} = -1$ и $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{-1} = -1$.
Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$, прямые параллельны. Проверим отношение свободных членов: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{0}{4} = 0$.
Поскольку $-1 \neq 0$, прямые являются параллельными и не совпадают.

4) $4x - 2y - 8 = 0$ и $-x - 2y + 4 = 0$.
Здесь $A_1 = 4, B_1 = -2$ и $A_2 = -1, B_2 = -2$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) = -4 + 4 = 0$.
Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

а) параллельны;
На основании проведенного анализа, параллельными являются пары прямых, рассмотренные в пунктах 1 и 3.
Ответ: 1, 3.

б) перпендикулярны:
На основании проведенного анализа, перпендикулярными являются пары прямых, рассмотренные в пунктах 2 и 4.
Ответ: 2, 4.