Номер 90, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

90. Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями:

а) $2x + y - 1 = 0$, $x - 2y + 3 = 0$;

б) $x + y + 1 = 0$, $x - y - 1 = 0$.

а) Угол $\phi$ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$. Косинус этого угла можно найти по формуле:
$\cos \phi = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$
Для первой прямой $2x + y - 1 = 0$ имеем коэффициенты $A_1 = 2, B_1 = 1$. Нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, 1)$.
Для второй прямой $x - 2y + 3 = 0$ имеем коэффициенты $A_2 = 1, B_2 = -2$. Нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, -2)$.
Найдем скалярное произведение нормальных векторов:
$A_1 A_2 + B_1 B_2 = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 2 - 2 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, то нормальные векторы перпендикулярны. Следовательно, и прямые, которым они принадлежат, также перпендикулярны. Угол между ними составляет $90^\circ$.
Другой способ — через угловые коэффициенты. Уравнение прямой в виде $y=kx+b$, где $k$ — угловой коэффициент.
Для первой прямой: $y = -2x + 1$, следовательно $k_1 = -2$.
Для второй прямой: $2y = x + 3 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$, следовательно $k_2 = \frac{1}{2}$.
Условие перпендикулярности двух прямых: $k_1 \cdot k_2 = -1$.
Проверим: $k_1 \cdot k_2 = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$. Условие выполняется, значит, прямые перпендикулярны.
Ответ: $90^\circ$.

б) Аналогично пункту а), найдем нормальные векторы для данных прямых.
Для прямой $x + y + 1 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1)$.
Для прямой $x - y - 1 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, -1)$.
Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0$.
Скалярное произведение равно нулю, значит, векторы перпендикулярны, и угол между прямыми равен $90^\circ$.
Проверим через угловые коэффициенты.
Для первой прямой: $y = -x - 1$, следовательно $k_1 = -1$.
Для второй прямой: $y = x - 1$, следовательно $k_2 = 1$.
Проверим условие перпендикулярности $k_1 \cdot k_2 = -1$:
$k_1 \cdot k_2 = -1 \cdot 1 = -1$. Условие выполняется, прямые перпендикулярны.
Ответ: $90^\circ$.