Номер 88, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

88. Докажите, что уравнение:

a) $x^2 - 8x + y^2 = 0$;

б) $x^2 + 2x + y^2 - 6y + 4 = 0$ задает окружность. Найдите ее радиус и координаты центра.

а) Чтобы доказать, что уравнение $x^2 - 8x + y^2 = 0$ задает окружность, необходимо привести его к каноническому виду уравнения окружности: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.
Для этого выделим полный квадрат для переменной $x$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$:
$(x^2 - 8x) + y^2 = 0$
Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$, а $-2ab = -8x$, значит $b=4$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и отнять $b^2 = 4^2 = 16$:
$(x^2 - 8x + 16) - 16 + y^2 = 0$
Теперь свернем выражение в скобках в полный квадрат и перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$(x - 4)^2 + y^2 = 16$
Это уравнение является каноническим уравнением окружности. Сравнивая его с общей формой $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, мы можем определить координаты центра и радиус.
Центр окружности имеет координаты $(x_0, y_0)$. В нашем случае $x_0 = 4$ и $y_0 = 0$. Таким образом, центр находится в точке $(4, 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 16$, следовательно, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.
Поскольку мы смогли привести исходное уравнение к каноническому виду окружности с действительным положительным радиусом, доказано, что оно задает окружность.
Ответ: уравнение задает окружность с центром в точке $(4, 0)$ и радиусом $R = 4$.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 + 2x + y^2 - 6y + 4 = 0$. Аналогично предыдущему пункту, приведем его к каноническому виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$:
$(x^2 + 2x) + (y^2 - 6y) + 4 = 0$
Выделим полный квадрат для группы с $x$. Используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, $2ab=2x$, значит $b=1$. Добавим и вычтем $b^2 = 1^2 = 1$:
$(x^2 + 2x + 1) - 1$
Выделим полный квадрат для группы с $y$. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=y$, $-2ab=-6y$, значит $b=3$. Добавим и вычтем $b^2 = 3^2 = 9$:
$(y^2 - 6y + 9) - 9$
Подставим эти выражения обратно в уравнение:
$((x^2 + 2x + 1) - 1) + ((y^2 - 6y + 9) - 9) + 4 = 0$
Свернем полные квадраты и объединим свободные члены:
$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 1 - 9 + 4 = 0$
$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 6 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 6$
Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности. Сравним его с $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Центр окружности: $x_0 = -1$, $y_0 = 3$. Координаты центра: $(-1, 3)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 6$, следовательно, радиус $R = \sqrt{6}$.
Таким образом, доказано, что уравнение задает окружность.
Ответ: уравнение задает окружность с центром в точке $(-1, 3)$ и радиусом $R = \sqrt{6}$.