Страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1.3. Точки $A$, $B$, $C$ не принадлежат одной прямой. Запишите прямые, проходящие через различные пары этих точек.

Согласно основной аксиоме планиметрии, через любые две различные точки проходит единственная прямая. В задаче даны три точки A, B и C, которые не лежат на одной прямой.

Для того чтобы найти все прямые, которые можно провести через эти точки, необходимо составить все возможные уникальные пары из этих точек.

1. Возьмем точки A и B. Через них проходит прямая, которую можно обозначить как AB.

2. Возьмем точки A и C. Через них проходит прямая AC.

3. Возьмем точки B и C. Через них проходит прямая BC.

Прямые, проходящие через пары точек (A, B) и (B, A), являются одной и той же прямой. Поэтому мы перечислили все возможные уникальные прямые. Поскольку по условию точки A, B и C не лежат на одной прямой, все три полученные прямые — AB, AC и BC — являются различными.

Ответ: AB, AC, BC.

1.4. Точки $A$, $B$, $C$, $D$ не принадлежат одной плоскости. Запишите плоскости, проходящие через различные тройки этих точек.

Согласно аксиоме стереометрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

В условии даны четыре точки A, B, C и D, которые не принадлежат одной плоскости. Это означает, что любые три из этих четырех точек не лежат на одной прямой (не коллинеарны). Следовательно, каждая различная тройка точек будет однозначно определять уникальную плоскость.

Задача сводится к нахождению всех возможных сочетаний из 4 данных точек по 3. Количество таких сочетаний вычисляется по формуле числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общее количество точек, а $k$ — количество точек, выбираемых для определения плоскости.

В нашем случае $n=4$ и $k=3$. Подставим эти значения в формулу:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$

Таким образом, существует 4 различные плоскости. Для их записи перечислим все возможные тройки точек, через которые проходят эти плоскости (плоскость принято обозначать тремя точками в скобках):

1. Тройка точек {A, B, C} определяет плоскость (ABC).

2. Тройка точек {A, B, D} определяет плоскость (ABD).

3. Тройка точек {A, C, D} определяет плоскость (ACD).

4. Тройка точек {B, C, D} определяет плоскость (BCD).

Ответ: (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).

1.5. Точки $A$, $B$, $C$, $D$ не принадлежат одной плоскости. Укажите точку пересечения прямой $AD$ и плоскости: а) $ABC$; б) $BCD$.

а) Чтобы найти точку пересечения прямой $AD$ и плоскости $ABC$, нужно найти точку, которая принадлежит одновременно и прямой, и плоскости.
1. Прямая $AD$ по определению проходит через точки $A$ и $D$. Значит, точка $A$ принадлежит прямой $AD$.
2. Плоскость $ABC$ по определению проходит через точки $A$, $B$ и $C$. Значит, точка $A$ принадлежит плоскости $ABC$.
Поскольку точка $A$ принадлежит и прямой $AD$, и плоскости $ABC$, она является их точкой пересечения.
По условию, точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости. Это означает, что точка $D$ не принадлежит плоскости $ABC$, поэтому прямая $AD$ не лежит в плоскости $ABC$, а пересекает ее в единственной точке. Эта точка и есть $A$.
Ответ: $A$.

б) Чтобы найти точку пересечения прямой $AD$ и плоскости $BCD$, нужно найти точку, которая принадлежит одновременно и прямой, и плоскости.
1. Прямая $AD$ по определению проходит через точки $A$ и $D$. Значит, точка $D$ принадлежит прямой $AD$.
2. Плоскость $BCD$ по определению проходит через точки $B$, $C$ и $D$. Значит, точка $D$ принадлежит плоскости $BCD$.
Поскольку точка $D$ принадлежит и прямой $AD$, и плоскости $BCD$, она является их точкой пересечения.
По условию, точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости. Это означает, что точка $A$ не принадлежит плоскости $BCD$, поэтому прямая $AD$ не лежит в плоскости $BCD$, а пересекает ее в единственной точке. Эта точка и есть $D$.
Ответ: $D$.

1.6. Точки $A$, $B$, $C$, $D$ не принадлежат одной плоскости. Укажите прямую пересечения плоскости $ABC$ и плоскости: а) $ABD$; б) $BCD$; в) $ACD$.

а) Для нахождения прямой пересечения плоскостей $ABC$ и $ABD$ необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Из названий плоскостей видно, что точка $A$ принадлежит как плоскости $ABC$, так и плоскости $ABD$. Аналогично, точка $B$ также принадлежит обеим плоскостям. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Следовательно, искомая прямая пересечения — это прямая, проходящая через точки $A$ и $B$.
Ответ: прямая $AB$.

б) Рассмотрим плоскости $ABC$ и $BCD$. Общими точками для этих двух плоскостей являются точки $B$ и $C$. Точка $B$ принадлежит обеим плоскостям по их определению ($B \in ABC$ и $B \in BCD$). Точно так же точка $C$ является общей для обеих плоскостей ($C \in ABC$ и $C \in BCD$). Таким образом, прямая, проходящая через точки $B$ и $C$, является линией пересечения данных плоскостей.
Ответ: прямая $BC$.

в) Рассмотрим плоскости $ABC$ и $ACD$. Общими точками для этих плоскостей являются точки $A$ и $C$. Точка $A$ принадлежит и плоскости $ABC$, и плоскости $ACD$. Точка $C$ также принадлежит обеим этим плоскостям. Следовательно, плоскости $ABC$ и $ACD$ пересекаются по прямой, проходящей через общие точки $A$ и $C$.
Ответ: прямая $AC$.

1.7. Сколько прямых проходит через различные пары из:

а) трех точек;

б) четырех точек;

в) пяти точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?

Для решения этой задачи необходимо найти количество уникальных прямых, которые можно провести через заданное количество точек. Каждая прямая однозначно определяется двумя различными точками. Если у нас есть $n$ точек, и никакие три из них не лежат на одной прямой, то количество прямых равно количеству способов выбрать 2 точки из $n$. Это является задачей на нахождение числа сочетаний.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ (в нашем случае $k=2$):
$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.

а) В случае трех точек возможны два сценария в зависимости от их расположения.

1. Точки не лежат на одной прямой. Тогда количество прямых равно числу пар, которые можно составить из этих точек. Используя формулу сочетаний для $n=3$:
$C_3^2 = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$.
Можно провести 3 прямые.

2. Все три точки лежат на одной прямой. В этом случае все пары точек определяют одну и ту же прямую, поэтому можно провести только 1 прямую.

Так как в пункте в) дано условие, что никакие три точки не лежат на одной прямой, будем считать, что для пунктов а) и б) подразумевается наиболее общий случай, то есть первый сценарий.

Ответ: 3.

б) Для четырех точек, принимая во внимание предположение, что никакие три из них не лежат на одной прямой, количество прямых будет равно числу сочетаний из 4 по 2.

Рассчитаем по формуле для $n=4$:
$C_4^2 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.
Таким образом, можно провести 6 прямых.

Ответ: 6.

в) В этом случае дано 5 точек и явно указано, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Это значит, что каждая пара точек определяет уникальную прямую.

Находим количество прямых как число сочетаний из 5 по 2, то есть для $n=5$:
$C_5^2 = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.
Следовательно, можно провести 10 прямых.

Ответ: 10.

1.8. Сколько плоскостей проходит через различные тройки из четырех точек, не принадлежащих одной плоскости?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько уникальных троек точек можно составить из четырех заданных точек. Согласно аксиоме стереометрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Пусть у нас есть четыре точки, которые не принадлежат одной плоскости. Обозначим их A, B, C и D. Условие, что все четыре точки не лежат в одной плоскости, гарантирует, что любые три из них не будут лежать на одной прямой (не будут коллинеарными). Если бы какие-то три точки, например A, B и C, лежали на одной прямой, то плоскость, определенная этой прямой и четвертой точкой D, содержала бы все четыре точки, что противоречило бы условию задачи.

Следовательно, каждая тройка из этих четырех точек будет определять уникальную плоскость. Нам нужно найти количество способов выбрать 3 точки из 4. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае, общее количество точек $n=4$, а для определения плоскости мы выбираем тройки точек, то есть $k=3$.

Подставим значения в формулу:
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = \frac{24}{6} = 4$.

Также можно найти ответ, перечислив все возможные комбинации троек точек:
1. Плоскость, проходящая через точки (A, B, C).
2. Плоскость, проходящая через точки (A, B, D).
3. Плоскость, проходящая через точки (A, C, D).
4. Плоскость, проходящая через точки (B, C, D).

Таким образом, можно провести 4 различные плоскости. Геометрически эти четыре точки являются вершинами тетраэдра, а четыре плоскости — его гранями.

Ответ: 4.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

1.9. Повторите аксиомы геометрии на плоскости.

Аксиомы геометрии на плоскости (планиметрии) — это набор исходных утверждений, принимаемых без доказательства, на основе которых строятся все дальнейшие теоремы и определения. Наиболее известной и строгой является система аксиом Гильберта, которая делится на пять групп.

I. Аксиомы принадлежности (инцидентности)

Эти аксиомы устанавливают самые основные связи между точками и прямыми.

I.1. Для любых двух различных точек $A$ и $B$ существует единственная прямая, проходящая через эти точки.

I.2. Каждая прямая содержит по меньшей мере две точки.

I.3. Существуют по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой.

Ответ: Данная группа аксиом определяет базовые взаимоотношения между основными объектами планиметрии — точками и прямыми, а также постулирует существование этих объектов в достаточном количестве для построения нетривиальной геометрии.

II. Аксиомы порядка

Эти аксиомы определяют взаимное расположение точек на прямой, вводя понятие «лежать между».

II.1. Если точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$, то $A$, $B$, $C$ — это три различные точки на одной прямой, и $B$ также лежит между $C$ и $A$.

II.2. Для любых двух различных точек $A$ и $C$ на прямой $AC$ существует по крайней мере одна точка $B$, такая, что $C$ лежит между $A$ и $B$.

II.3. Из трёх точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.

II.4. (Аксиома Паша) Пусть $A$, $B$, $C$ — три точки, не лежащие на одной прямой, и пусть $a$ — прямая в плоскости $ABC$, не проходящая ни через одну из этих точек. Если прямая $a$ пересекает отрезок $AB$, то она пересечёт либо отрезок $AC$, либо отрезок $BC$.

Ответ: Эта группа аксиом вводит понятие порядка точек на прямой, что позволяет определить такие понятия, как отрезок, луч и полуплоскость, и описывает, как прямая разделяет плоскость.

III. Аксиомы конгруэнтности (равенства)

Эти аксиомы вводят понятие равенства для отрезков и углов, которое в геометрии называется конгруэнтностью.

III.1. На любой прямой от данной точки в данную сторону можно отложить отрезок, равный (конгруэнтный) данному, и притом только один.

III.2. Отношение конгруэнтности для отрезков транзитивно. То есть, если отрезок $A'B'$ конгруэнтен отрезку $AB$, и отрезок $A''B''$ конгруэнтен отрезку $AB$, то отрезок $A'B'$ конгруэнтен отрезку $A''B''$. (Конгруэнтность также рефлексивна и симметрична).

III.3. Если точка $B$ лежит между $A$ и $C$, а точка $B'$ лежит между $A'$ и $C'$, и при этом отрезки $AB$ и $A'B'$ конгруэнтны, а отрезки $BC$ и $B'C'$ конгруэнтны, то отрезки $AC$ и $A'C'$ также конгруэнтны.

III.4. В данную полуплоскость относительно данной прямой можно отложить угол, конгруэнтный данному углу, и притом только один.

III.5. (Аксиома конгруэнтности треугольников по двум сторонам и углу между ними) Если для двух треугольников $ABC$ и $A'B'C'$ имеет место конгруэнтность $AB \cong A'B'$, $AC \cong A'C'$, и $\angle BAC \cong \angle B'A'C'$, то эти треугольники конгруэнтны ($ \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' $).

Ответ: Аксиомы конгруэнтности позволяют сравнивать геометрические фигуры (отрезки, углы, треугольники) по размеру и форме, вводя фундаментальное понятие равенства в геометрию.

IV. Аксиома непрерывности

Эта аксиома гарантирует "сплошность" прямой, отсутствие в ней "дыр".

IV.1. (Аксиома Архимеда) Каковы бы ни были отрезки $AB$ и $CD$, существует такое натуральное число $n$, что если отложить отрезок $CD$ $n$ раз подряд от точки $A$ вдоль луча $AB$, то полученная точка окажется за пределами точки $B$.

Ответ: Аксиома непрерывности (в форме аксиомы Архимеда) обеспечивает возможность измерения отрезков и связь геометрии с теорией действительных чисел, исключая существование "бесконечно малых" или "бесконечно больших" отрезков по отношению друг к другу.

V. Аксиома параллельности

Эта аксиома определяет уникальное свойство евклидовой геометрии.

V.1. (Аксиома Евклида) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной. (В сочетании с доказанным фактом существования хотя бы одной параллельной прямой, это означает, что существует ровно одна такая прямая).

Ответ: Аксиома параллельности является определяющей для евклидовой геометрии. Её принятие ведёт к таким важным следствиям, как теорема о сумме углов треугольника, равной $180^\circ$, и теорема Пифагора. Отказ от этой аксиомы приводит к построению неевклидовых геометрий (например, геометрии Лобачевского).