Страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3.8. Сколько диагоналей имеет:
а) тетраэдр;
б) куб;
в) параллелепипед?

а)

Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани. Тетраэдр — это многогранник, у которого 4 вершины и 4 треугольные грани. Любые три вершины тетраэдра образуют одну из его граней. Следовательно, любые две вершины тетраэдра всегда принадлежат одной общей грани (они соединены ребром, которое принадлежит двум граням). Так как невозможно найти две вершины, которые не лежали бы на одной грани, то, по определению, у тетраэдра нет диагоналей.
Другой способ рассуждения: общее число отрезков, которое можно провести между 4 вершинами тетраэдра, равно числу сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$. У тетраэдра ровно 6 рёбер. Таким образом, все возможные отрезки, соединяющие вершины, являются рёбрами, а диагоналей нет.
Ответ: 0.

б)

Куб — это многогранник, имеющий 8 вершин, 12 рёбер и 6 квадратных граней. Диагональ куба соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани. Такие вершины называются противолежащими. Если выбрать любую вершину куба, то ровно одна из оставшихся семи вершин будет для неё противолежащей. Например, в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ для вершины A противолежащей будет вершина $C_1$.
Всего у куба 8 вершин. Каждая из них образует диагональ с одной, противолежащей ей, вершиной. Так как каждая диагональ соединяет две вершины (диагональ $AC_1$ — это то же самое, что и $C_1A$), то общее количество диагоналей равно числу вершин, разделённому на два: $8 / 2 = 4$.
Ответ: 4.

в)

Параллелепипед — это многогранник, у которого, как и у куба, 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней. Основное отличие заключается в том, что грани параллелепипеда являются параллелограммами, а не обязательно квадратами. Однако количество и способ соединения вершин (топологическая структура) у параллелепипеда и куба одинаковы.
Следовательно, рассуждения для нахождения числа диагоналей параллелепипеда аналогичны рассуждениям для куба. У каждой из 8 вершин есть ровно одна противолежащая вершина, не лежащая с ней в одной грани. Эти пары вершин и образуют диагонали. Их количество также равно $8 / 2 = 4$.
Ответ: 4.

3.9. Какие из изображенных на рисунке 3.10 фигур являются развертками куба?

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Рис. 3.10

Для определения, является ли плоская фигура из шести квадратов (гексомино) разверткой куба, можно использовать мысленное сворачивание или правило противоположных граней. У куба 6 граней, и они образуют 3 пары параллельных (противоположных) граней. В развертке противоположные грани обычно разделены одной другой гранью, если они лежат на одной прямой. Если развертку можно раскрасить в три цвета так, что каждая пара противоположных граней имеет свой цвет, и никакие два квадрата одного цвета не соприкасаются сторонами, то это развертка куба.

а) Эта фигура не является разверткой куба. Чтобы это проверить, выберем один из квадратов за основание и попробуем мысленно «поднять» остальные. Пусть квадрат в третьей строке (обозначим его $F_3$) будет передней гранью. Тогда квадрат над ним ($F_2$) станет верхней гранью, а квадрат под ним ($F_4$) — нижней. К верхней грани $F_2$ сбоку примыкает квадрат $F_1$, который станет задней гранью. К нижней грани $F_4$ сбоку примыкает квадрат $F_5$, который станет левой гранью. Последний квадрат $F_6$, примыкающий к левой грани $F_5$, при сворачивании также попытается стать задней гранью. Таким образом, грани $F_1$ и $F_6$ накладываются друг на друга.
Ответ: Не является.

б) Эта фигура является разверткой куба. Можно мысленно это проверить. Выберем квадрат, находящийся во второй строке и втором столбце, в качестве основания (дна). Тогда три квадрата, примыкающие к нему, станут боковыми стенками (например, задней, левой и передней). Квадрат в верхнем левом углу, примыкающий к левой стенке, станет верхней гранью (крышкой). Самый нижний квадрат, примыкающий к передней стенке, станет правой боковой стенкой. Все 6 граней занимают свои места без наложений.
Ответ: Является.

в) Эта фигура не является разверткой куба. Рассмотрим длинную часть фигуры, состоящую из четырех квадратов в виде буквы "Г". Пусть квадрат в "углу" этой "буквы Г" (второй в вертикальном ряду) будет задней гранью. Тогда три квадрата, примыкающие к нему в развертке, станут основанием, левой и правой гранями. Два оставшихся квадрата (нижние в вертикальном ряду) при сворачивании будут претендовать на одну и ту же позицию — передней грани, то есть наложатся друг на друга.
Ответ: Не является.

г) Эта фигура не является разверткой куба. Фигура представляет собой полоску из шести квадратов. При попытке свернуть куб, четыре средних квадрата образуют боковые стенки незамкнутой "трубы", а два крайних квадрата наложатся друг на друга, пытаясь стать либо дном, либо крышкой.
Ответ: Не является.

д) Эта фигура является разверткой куба. Выберем левый квадрат в среднем ряду за основание. Тогда квадрат над ним станет задней стенкой, квадрат справа от него — левой стенкой, а квадрат под ним — передней стенкой. От задней стенки отгибаем верхний квадрат, он станет правой стенкой. От задней стенки также отгибаем самый верхний квадрат, он станет верхней крышкой. Все грани на месте, наложений нет.
Ответ: Является.

е) Эта фигура является разверткой куба. Можно применить правило противоположных граней. В горизонтальном ряду из трех квадратов крайние квадраты будут противоположными гранями (например, левая и правая). Возьмем средний квадрат этого ряда за основание. Тогда квадрат под ним будет передней гранью. Квадрат, примыкающий к передней грани, станет нижней гранью. Квадрат, примыкающий к левой грани, станет верхней гранью. Противоположные пары граней распределяются корректно, и наложений не происходит.
Ответ: Является.

ж) Эта фигура является разверткой куба. Выберем правый квадрат в среднем ряду за основание. Тогда квадрат слева от него станет левой стенкой, квадрат над ним — задней стенкой, а квадрат под ним — передней стенкой. От задней стенки отгибаем квадрат, он станет верхней крышкой. От верхней крышки отгибаем последний квадрат, он станет правой стенкой. Наложений нет, все грани занимают свои места.
Ответ: Является.

з) Эта фигура не является разверткой куба. Здесь можно применить правило раскраски. Определим пары противоположных граней. В вертикальном ряду из трех квадратов внизу фигуры, крайние грани (четвертая и шестая сверху) будут противоположными. Окрасим их в один цвет (например, красный). Попробуем определить другие пары. Окажется, что как бы мы ни пытались составить две другие пары, при сворачивании две грани одного цвета (т.е. противоположные) окажутся соседними, что невозможно. Например, если предположить, что парами являются (4,6), (3,5) и (1,2), то при сворачивании грани 1 и 2 окажутся соседними.
Ответ: Не является.

3.10. Нарисуйте развертки тетраэдра и прямоугольного параллелепипеда.

Развертка тетраэдра

Тетраэдр — это многогранник, состоящий из четырех треугольных граней. Его также называют треугольной пирамидой. Чтобы получить его развертку, нужно мысленно «разрезать» его по нескольким ребрам и разложить на плоскости так, чтобы все грани остались соединенными.

Существует несколько видов разверток тетраэдра. Рассмотрим самый распространенный случай — правильный тетраэдр, у которого все грани являются одинаковыми равносторонними треугольниками.

1. Первый вариант развертки: одна из граней (треугольник) выбирается в качестве основания. Три остальные боковые грани присоединяются к трем сторонам этого основания. В результате получается фигура, состоящая из четырех одинаковых треугольников, которая сама имеет форму большого треугольника.

2. Второй вариант развертки: четыре треугольника соединены последовательно друг с другом, образуя полосу. При сгибании по общим сторонам эта полоса замыкается в тетраэдр.

Ответ: Развертка тетраэдра представляет собой плоскую фигуру, состоящую из четырех треугольников, соединенных сторонами. Чаще всего она выглядит как один центральный треугольник, к каждой стороне которого присоединен еще один треугольник, или как полоса из четырех треугольников.

Развертка прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед — это многогранник с шестью прямоугольными гранями. У него есть три пары равных параллельных граней. Обозначим его измерения как длину $a$, ширину $b$ и высоту $c$. Тогда у параллелепипеда будут следующие грани:

• две грани с размерами $a \times b$ (например, основание и крышка);
• две грани с размерами $a \times c$ (например, передняя и задняя стенки);
• две грани с размерами $b \times c$ (например, левая и правая боковые стенки).

Развертка прямоугольного параллелепипеда состоит из этих шести прямоугольников, соединенных таким образом, чтобы из них можно было сложить коробку. Существует множество (11 различных) способов это сделать. Самый известный из них напоминает по форме крест.

Чтобы представить эту развертку, можно выполнить следующие шаги:

1. Возьмем одну грань (например, основание размером $a \times b$) и расположим ее в центре.

2. К ее четырем сторонам «прикрепим» четыре боковые грани: к двум сторонам длины $a$ — два прямоугольника размером $a \times c$, а к двум сторонам длины $b$ — два прямоугольника размером $b \times c$.

3. Оставшуюся грань (крышку размером $a \times b$) прикрепим к любой свободной стороне одной из боковых граней (например, к дальней стороне передней грани).

Другой распространенный вариант — расположить четыре боковые грани в один ряд, а основание и крышку прикрепить по бокам к одной из этих граней.

Ответ: Развертка прямоугольного параллелепипеда — это фигура из шести прямоугольников (две грани $a \times b$, две $a \times c$ и две $b \times c$), соединенных ребрами. Классический вид развертки имеет форму креста, где в центре находится одна из граней, по четырем сторонам от нее — боковые грани, и с краю к одной из боковых граней присоединена последняя грань.

3.11. Изготовьте развертки и склейте из них модели тетраэдра, куба и прямоугольного параллелепипеда.

Для выполнения этого задания понадобятся лист плотной бумаги или картона, линейка, карандаш, ножницы и клей.

Тетраэдр

Тетраэдр — это многогранник, состоящий из четырех треугольных граней. В случае правильного тетраэдра все грани являются равными равносторонними треугольниками.

Шаг 1: Создание развертки. На листе бумаги нарисуйте развертку тетраэдра. Она состоит из четырех одинаковых равносторонних треугольников. Наиболее простой способ — нарисовать один центральный треугольник и пристроить к каждой из его сторон по такому же треугольнику. Также можно нарисовать один большой равносторонний треугольник и разделить его средними линиями на четыре малых.

Шаг 2: Добавление клапанов. К некоторым внешним сторонам треугольников пририсуйте небольшие трапециевидные клапаны (язычки) для склеивания. Они помогут соединить грани модели.

Шаг 3: Сборка модели. Аккуратно вырежьте развертку по внешнему контуру, включая клапаны. Согните заготовку по всем внутренним линиям сгиба. Нанесите клей на клапаны и последовательно склейте грани, формируя объемную фигуру тетраэдра.

Ответ: В результате выполнения этих шагов будет изготовлена бумажная модель тетраэдра.

Куб

Куб — это правильный многогранник, у которого все шесть граней являются квадратами.

Шаг 1: Создание развертки. Нарисуйте развертку куба, состоящую из шести одинаковых квадратов. Самая распространенная развертка имеет форму креста: четыре квадрата расположены в один ряд, а еще два (верхняя и нижняя грани) примыкают к одному из центральных квадратов с противоположных сторон.

Шаг 2: Добавление клапанов. К свободным сторонам некоторых квадратов (например, к трем сторонам верхнего квадрата и к двум боковым сторонам крайнего квадрата в ряду) добавьте клапаны для склеивания.

Шаг 3: Сборка модели. Вырежьте развертку по контуру вместе с клапанами. Согните ее по всем линиям, разделяющим квадраты. Нанесите клей на клапаны и соберите модель, приклеивая грани друг к другу. Убедитесь, что все углы прямые.

Ответ: В результате выполнения этих шагов будет изготовлена бумажная модель куба.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, все шесть граней которого являются прямоугольниками. У него есть три пары равных параллельных граней.

Шаг 1: Создание развертки. Развертка состоит из шести прямоугольников. Пусть размеры параллелепипеда — длина $l$, ширина $w$ и высота $h$. Вам понадобятся: два прямоугольника размером $l \times w$ (основания), два прямоугольника размером $l \times h$ и два прямоугольника размером $w \times h$ (боковые грани). Нарисуйте развертку, например, так: расположите в ряд четыре боковые грани, чередуя их ($l \times h$, $w \times h$, $l \times h$, $w \times h$). К одной из граней размером $l \times h$ пририсуйте сверху и снизу основания (прямоугольники размером $l \times w$).

Шаг 2: Добавление клапанов. Аналогично кубу, добавьте клапаны для склеивания к некоторым свободным сторонам прямоугольников.

Шаг 3: Сборка модели. Вырежьте развертку, согните по линиям и склейте, используя клапаны. Следите за тем, чтобы противоположные грани были параллельны, а смежные — перпендикулярны.

Ответ: В результате выполнения этих шагов будет изготовлена бумажная модель прямоугольного параллелепипеда.

3.12. Приведите примеры реальных объектов в форме:

а) тетраэдра;

б) куба;

в) параллелепипеда.

а) тетраэдра

Тетраэдр — это многогранник, который имеет четыре треугольные грани, четыре вершины и шесть ребер. Другое название этой фигуры — треугольная пирамида. Хотя эта форма встречается в быту не так часто, как другие многогранники, можно привести несколько наглядных примеров:
• Упаковки для жидких продуктов, например, некоторые картонные пакеты для молока или сока, которые имеют форму тетраэдра.
• Четырехгранная игральная кость (в настольных играх обозначается как d4).
• В химии тетраэдрическую структуру имеет молекула метана ($CH_4$), где атом углерода находится в центре, а четыре атома водорода — в вершинах.
• Некоторые архитектурные конструкции, скульптуры или ювелирные украшения.
Ответ: Упаковка сока в форме пирамидки, четырехгранная игральная кость, молекула метана.

б) куба

Куб — это правильный многогранник, каждая из шести граней которого является квадратом. Это частный случай параллелепипеда. Объекты кубической формы очень распространены в окружающем мире:
• Стандартная шестигранная игральная кость (кубик).
• Кубик Рубика — известная механическая головоломка.
• Кубики сахара-рафинада.
• Детские игровые кубики для строительства.
• Ледяные кубики, замороженные в специальных формах.
• Некоторые виды подарочных коробок и предметов мебели, например, пуфики.
Ответ: Игральная кость, Кубик Рубика, кубик сахара.

в) параллелепипеда

Параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них является параллелограммом. В подавляющем большинстве реальных примеров мы сталкиваемся с его частным случаем — прямоугольным параллелепипедом, у которого все грани являются прямоугольниками. Объекты такой формы встречаются повсеместно:
• Строительный кирпич, шлакоблок.
• Книга в твердом переплете.
• Практически любая картонная коробка: от спичечного коробка до коробки из-под бытовой техники.
• Большинство зданий и комнат в них имеют форму прямоугольного параллелепипеда.
• Предметы мебели: шкаф, комод, стол, кровать.
• Бытовая техника и электроника: холодильник, микроволновая печь, системный блок компьютера, смартфон.
Ответ: Кирпич, книга, спичечный коробок, здание, шкаф.