Номер 3.9, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3.9. Какие из изображенных на рисунке 3.10 фигур являются развертками куба?

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Рис. 3.10

Для определения, является ли плоская фигура из шести квадратов (гексомино) разверткой куба, можно использовать мысленное сворачивание или правило противоположных граней. У куба 6 граней, и они образуют 3 пары параллельных (противоположных) граней. В развертке противоположные грани обычно разделены одной другой гранью, если они лежат на одной прямой. Если развертку можно раскрасить в три цвета так, что каждая пара противоположных граней имеет свой цвет, и никакие два квадрата одного цвета не соприкасаются сторонами, то это развертка куба.

а) Эта фигура не является разверткой куба. Чтобы это проверить, выберем один из квадратов за основание и попробуем мысленно «поднять» остальные. Пусть квадрат в третьей строке (обозначим его $F_3$) будет передней гранью. Тогда квадрат над ним ($F_2$) станет верхней гранью, а квадрат под ним ($F_4$) — нижней. К верхней грани $F_2$ сбоку примыкает квадрат $F_1$, который станет задней гранью. К нижней грани $F_4$ сбоку примыкает квадрат $F_5$, который станет левой гранью. Последний квадрат $F_6$, примыкающий к левой грани $F_5$, при сворачивании также попытается стать задней гранью. Таким образом, грани $F_1$ и $F_6$ накладываются друг на друга.
Ответ: Не является.

б) Эта фигура является разверткой куба. Можно мысленно это проверить. Выберем квадрат, находящийся во второй строке и втором столбце, в качестве основания (дна). Тогда три квадрата, примыкающие к нему, станут боковыми стенками (например, задней, левой и передней). Квадрат в верхнем левом углу, примыкающий к левой стенке, станет верхней гранью (крышкой). Самый нижний квадрат, примыкающий к передней стенке, станет правой боковой стенкой. Все 6 граней занимают свои места без наложений.
Ответ: Является.

в) Эта фигура не является разверткой куба. Рассмотрим длинную часть фигуры, состоящую из четырех квадратов в виде буквы "Г". Пусть квадрат в "углу" этой "буквы Г" (второй в вертикальном ряду) будет задней гранью. Тогда три квадрата, примыкающие к нему в развертке, станут основанием, левой и правой гранями. Два оставшихся квадрата (нижние в вертикальном ряду) при сворачивании будут претендовать на одну и ту же позицию — передней грани, то есть наложатся друг на друга.
Ответ: Не является.

г) Эта фигура не является разверткой куба. Фигура представляет собой полоску из шести квадратов. При попытке свернуть куб, четыре средних квадрата образуют боковые стенки незамкнутой "трубы", а два крайних квадрата наложатся друг на друга, пытаясь стать либо дном, либо крышкой.
Ответ: Не является.

д) Эта фигура является разверткой куба. Выберем левый квадрат в среднем ряду за основание. Тогда квадрат над ним станет задней стенкой, квадрат справа от него — левой стенкой, а квадрат под ним — передней стенкой. От задней стенки отгибаем верхний квадрат, он станет правой стенкой. От задней стенки также отгибаем самый верхний квадрат, он станет верхней крышкой. Все грани на месте, наложений нет.
Ответ: Является.

е) Эта фигура является разверткой куба. Можно применить правило противоположных граней. В горизонтальном ряду из трех квадратов крайние квадраты будут противоположными гранями (например, левая и правая). Возьмем средний квадрат этого ряда за основание. Тогда квадрат под ним будет передней гранью. Квадрат, примыкающий к передней грани, станет нижней гранью. Квадрат, примыкающий к левой грани, станет верхней гранью. Противоположные пары граней распределяются корректно, и наложений не происходит.
Ответ: Является.

ж) Эта фигура является разверткой куба. Выберем правый квадрат в среднем ряду за основание. Тогда квадрат слева от него станет левой стенкой, квадрат над ним — задней стенкой, а квадрат под ним — передней стенкой. От задней стенки отгибаем квадрат, он станет верхней крышкой. От верхней крышки отгибаем последний квадрат, он станет правой стенкой. Наложений нет, все грани занимают свои места.
Ответ: Является.

з) Эта фигура не является разверткой куба. Здесь можно применить правило раскраски. Определим пары противоположных граней. В вертикальном ряду из трех квадратов внизу фигуры, крайние грани (четвертая и шестая сверху) будут противоположными. Окрасим их в один цвет (например, красный). Попробуем определить другие пары. Окажется, что как бы мы ни пытались составить две другие пары, при сворачивании две грани одного цвета (т.е. противоположные) окажутся соседними, что невозможно. Например, если предположить, что парами являются (4,6), (3,5) и (1,2), то при сворачивании грани 1 и 2 окажутся соседними.
Ответ: Не является.