Номер 4.1, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.1. Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет:

а) n-угольная призма;

б) n-угольная пирамида?

а) n-угольная призма

n-угольная призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными n-угольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные $n$ граней (боковые грани) — параллелограммами.

Вершины (В): У n-угольной призмы есть два основания (верхнее и нижнее), каждое из которых является n-угольником. У n-угольника $n$ вершин. Таким образом, общее количество вершин равно сумме вершин на двух основаниях. $В = n + n = 2n$.

Ребра (Р): У призмы есть $n$ ребер на верхнем основании, $n$ ребер на нижнем основании и $n$ боковых ребер, которые соединяют соответствующие вершины оснований. Следовательно, общее количество ребер: $Р = n + n + n = 3n$.

Грани (Г): Призма состоит из двух оснований (верхнего и нижнего) и $n$ боковых граней. Общее количество граней: $Г = n + 2$.

Можно проверить правильность подсчета с помощью формулы Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 2$. Подставим наши значения: $2n - 3n + (n + 2) = -n + n + 2 = 2$. Формула выполняется.

Ответ: вершин $В = 2n$, ребер $Р = 3n$, граней $Г = n + 2$.

б) n-угольная пирамида

n-угольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань (основание) является n-угольником, а все остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину (вершину пирамиды или апекс).

Вершины (В): Основание пирамиды представляет собой n-угольник, у которого $n$ вершин. Кроме этих вершин, есть еще одна — вершина пирамиды (апекс). Таким образом, общее количество вершин: $В = n + 1$.

Ребра (Р): В основании пирамиды лежат $n$ ребер. Также от каждой вершины основания к апексу идет по одному боковому ребру, то есть имеется $n$ боковых ребер. Общее количество ребер: $Р = n + n = 2n$.

Грани (Г): Пирамида состоит из одной грани-основания и $n$ боковых граней, каждая из которых является треугольником. Общее количество граней: $Г = n + 1$.

Проверим по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 2$. Подставим наши значения: $(n + 1) - 2n + (n + 1) = n + 1 - 2n + n + 1 = 2$. Формула выполняется.

Ответ: вершин $В = n + 1$, ребер $Р = 2n$, граней $Г = n + 1$.