Страница 34 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Как вы думаете, является ли тетраэдр треугольной пирамидой?

Да, тетраэдр является треугольной пирамидой. Чтобы понять, почему это так, давайте последовательно разберем определения и свойства этих геометрических тел.

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, является многоугольником, а остальные грани (боковые) — это треугольники с общей вершиной.

Треугольная пирамида — это частный случай пирамиды, в основании которой лежит треугольник. Следовательно, все грани треугольной пирамиды являются треугольниками: одна грань — основание, и три грани — боковые. Подсчитаем ее элементы: у треугольной пирамиды 4 грани (все треугольные), 4 вершины (три в основании и одна вершина пирамиды) и 6 ребер (три ребра в основании и три боковых ребра).

Тетраэдр (в переводе с греческого «четырехгранник») — это многогранник, имеющий 4 грани. По определению, эти грани являются треугольниками. У тетраэдра также 4 вершины и 6 ребер.

Сравнив определения и посчитанные элементы, мы видим, что они полностью совпадают. Любая из четырех граней тетраэдра может быть выбрана в качестве его основания, а противоположная вершина — в качестве вершины пирамиды. Таким образом, понятия «тетраэдр» и «треугольная пирамида» описывают одну и ту же геометрическую фигуру.

Ответ: Да, тетраэдр является треугольной пирамидой. Эти два названия являются синонимами для одного и того же многогранника.

Вопросы

1. Какой многогранник называется призмой?

2. Какая призма называется прямой?

3. Какая призма называется правильной?

4. Как обозначают призму?

5. Какой многогранник называется пирамидой?

6. Какая пирамида называется правильной?

7. Как обозначают пирамиду?

1. Какой многогранник называется призмой?

Призмой называется многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, называемых основаниями, которые лежат в параллельных плоскостях, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Грани, не являющиеся основаниями, называются боковыми гранями. Каждая боковая грань является параллелограммом. Отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований, называются боковыми ребрами.

Ответ: Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а все боковые грани — параллелограммами.

2. Какая призма называется прямой?

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. У прямой призмы все боковые грани являются прямоугольниками. Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра. Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, призма называется наклонной.

Ответ: Прямой называется призма, у которой боковые ребра перпендикулярны ее основаниям.

3. Какая призма называется правильной?

Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник (то есть многоугольник, у которого все стороны и все углы равны). Боковые грани правильной призмы — равные между собой прямоугольники.

Ответ: Правильной называется прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

4. Как обозначают призму?

Призму обозначают, последовательно перечисляя вершины одного основания, а затем — соответствующие им вершины другого основания. Например, треугольную призму с основаниями $ABC$ и $A_1B_1C_1$ обозначают $ABCA_1B_1C_1$.

Ответ: Призму обозначают перечислением всех ее вершин, сначала одного основания, потом другого, например, $ABCA_1B_1C_1$.

5. Какой многогранник называется пирамидой?

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину. Эта общая вершина называется вершиной пирамиды.

Ответ: Пирамида — это многогранник, основание которого является многоугольником, а остальные грани — треугольниками с общей вершиной.

6. Какая пирамида называется правильной?

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Ответ: Правильной называется пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

7. Как обозначают пирамиду?

Пирамиду обозначают, указывая сначала ее вершину, а затем, последовательно, вершины ее основания. Например, четырехугольную пирамиду с вершиной в точке $S$ и основанием $ABCD$ обозначают $SABCD$.

Ответ: Пирамиду обозначают, указывая ее вершину и затем вершины основания, например, $SABCD$.

4.1. Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет:

а) n-угольная призма;

б) n-угольная пирамида?

а) n-угольная призма

n-угольная призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными n-угольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные $n$ граней (боковые грани) — параллелограммами.

Вершины (В): У n-угольной призмы есть два основания (верхнее и нижнее), каждое из которых является n-угольником. У n-угольника $n$ вершин. Таким образом, общее количество вершин равно сумме вершин на двух основаниях. $В = n + n = 2n$.

Ребра (Р): У призмы есть $n$ ребер на верхнем основании, $n$ ребер на нижнем основании и $n$ боковых ребер, которые соединяют соответствующие вершины оснований. Следовательно, общее количество ребер: $Р = n + n + n = 3n$.

Грани (Г): Призма состоит из двух оснований (верхнего и нижнего) и $n$ боковых граней. Общее количество граней: $Г = n + 2$.

Можно проверить правильность подсчета с помощью формулы Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 2$. Подставим наши значения: $2n - 3n + (n + 2) = -n + n + 2 = 2$. Формула выполняется.

Ответ: вершин $В = 2n$, ребер $Р = 3n$, граней $Г = n + 2$.

б) n-угольная пирамида

n-угольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань (основание) является n-угольником, а все остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину (вершину пирамиды или апекс).

Вершины (В): Основание пирамиды представляет собой n-угольник, у которого $n$ вершин. Кроме этих вершин, есть еще одна — вершина пирамиды (апекс). Таким образом, общее количество вершин: $В = n + 1$.

Ребра (Р): В основании пирамиды лежат $n$ ребер. Также от каждой вершины основания к апексу идет по одному боковому ребру, то есть имеется $n$ боковых ребер. Общее количество ребер: $Р = n + n = 2n$.

Грани (Г): Пирамида состоит из одной грани-основания и $n$ боковых граней, каждая из которых является треугольником. Общее количество граней: $Г = n + 1$.

Проверим по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 2$. Подставим наши значения: $(n + 1) - 2n + (n + 1) = n + 1 - 2n + n + 1 = 2$. Формула выполняется.

Ответ: вершин $В = n + 1$, ребер $Р = 2n$, граней $Г = n + 1$.

4.2. На клетчатой бумаге изобразите призмы, аналогичные данным на рисунке 4.3.

а)б)в)

Рис. 4.3

Задача состоит в том, чтобы на клетчатой бумаге нарисовать призмы, аналогичные представленным. Это означает, что нужно изобразить другие призмы (например, с другими основаниями или размерами), используя тот же метод косоугольной проекции, который применен в примерах. В этом методе передняя грань или основание изображается без искажений, а глубина показывается параллельными линиями, уходящими назад под некоторым углом. Невидимые ребра изображаются пунктиром.

Ниже представлено пошаговое описание построения трех новых призм на воображаемой клетчатой бумаге с системой координат, где одна клетка соответствует единице.

а)

Построим прямую треугольную призму, отличную от той, что на рисунке. В основании будет лежать равнобедренный треугольник.

1. Начнем с изображения переднего основания призмы. Это треугольник с вершинами в точках A=(0,5), B=(6,5) и C=(3,1).

2. Для создания эффекта глубины выберем вектор проекции, который будет смещать каждую вершину "назад и вверх". Пусть это будет вектор $v = (2, 2)$.

3. Найдем координаты вершин заднего основания, прибавив вектор $v$ к координатам вершин переднего основания:

   • $A' = (0+2, 5+2) = (2,7)$
   • $B' = (6+2, 5+2) = (8,7)$
   • $C' = (3+2, 1+2) = (5,3)$

4. Теперь соединим соответствующие вершины и определим видимость ребер. При взгляде на призму спереди и немного снизу, задняя вершина C' будет скрыта передним основанием.

   • Сплошными линиями (видимые ребра) изображаем:
     • ребра переднего основания: отрезки A-B, B-C и C-A;
     • боковые ребра, идущие от видимых передних вершин A и B: отрезки A-A' и B-B';
     • видимую часть заднего основания: отрезок A'-B'.
   • Пунктирными линиями (невидимые ребра) изображаем:
     • скрытое боковое ребро: отрезок C-C';
     • скрытые ребра заднего основания: отрезки A'-C' и B'-C'.

Ответ: Построенная призма является прямой треугольной призмой. Ее можно нарисовать на клетчатой бумаге, последовательно соединяя указанные точки. Вершины: A(0,5), B(6,5), C(3,1), A'(2,7), B'(8,7), C'(5,3). Видимые ребра: AB, BC, CA, AA', BB', A'B'. Невидимые ребра: CC', A'C', B'C'.

б)

Построим прямую пятиугольную призму, используя другой пятиугольник в основании и другой вектор проекции.

1. Нарисуем переднее основание призмы — пятиугольник с вершинами в точках A=(1,0), B=(5,0), C=(6,3), D=(3,5) и E=(0,3).

2. Для создания глубины используем вектор проекции $v = (-2, 1)$. Это означает, что каждая задняя вершина будет на 2 клетки левее и на 1 клетку выше соответствующей передней.

3. Найдем координаты вершин заднего основания:

   • $A' = (1-2, 0+1) = (-1,1)$
   • $B' = (5-2, 0+1) = (3,1)$
   • $C' = (6-2, 3+1) = (4,4)$
   • $D' = (3-2, 5+1) = (1,6)$
   • $E' = (0-2, 3+1) = (-2,4)$

4. Соединим вершины. При взгляде спереди и справа, левые задние вершины E' и A' будут невидимы. Вершины B', C' и D' будут видны.

   • Сплошными линиями (видимые ребра) изображаем:
     • все ребра переднего основания: A-B, B-C, C-D, D-E, E-A;
     • видимые боковые ребра: B-B', C-C', D-D';
     • видимые ребра заднего основания: B'-C' и C'-D'.
   • Пунктирными линиями (невидимые ребра) изображаем:
     • скрытые боковые ребра: A-A' и E-E';
     • скрытые ребра заднего основания: A'-B', D'-E' и E'-A'.

Ответ: Построена прямая пятиугольная призма. Координаты вершин для построения: A(1,0), B(5,0), C(6,3), D(3,5), E(0,3), A'(-1,1), B'(3,1), C'(4,4), D'(1,6), E'(-2,4). Видимые ребра: AB, BC, CD, DE, EA, BB', CC', DD', B'C', C'D'. Невидимые ребра: AA', EE', A'B', D'E', E'A'.

в)

Построим прямую шестиугольную призму с основанием в виде неправильного, но симметричного шестиугольника.

1. Изобразим переднее основание — шестиугольник с вершинами в точках A=(2,0), B=(5,0), C=(7,2), D=(5,4), E=(2,4) и F=(0,2).

2. Выберем вектор проекции, например, $v = (2, 1)$. Каждая задняя вершина будет на 2 клетки правее и на 1 клетку выше передней.

3. Найдем координаты вершин заднего основания:

   • $A' = (2+2, 0+1) = (4,1)$
   • $B' = (5+2, 0+1) = (7,1)$
   • $C' = (7+2, 2+1) = (9,3)$
   • $D' = (5+2, 4+1) = (7,5)$
   • $E' = (2+2, 4+1) = (4,5)$
   • $F' = (0+2, 2+1) = (2,3)$

4. Соединим вершины. При взгляде спереди и немного снизу-слева, задние вершины, находящиеся "за" передней гранью (F', A', B'), будут невидимы. Вершины C', D', E' будут видны.

   • Сплошными линиями (видимые ребра) изображаем:
     • все ребра переднего основания: A-B, B-C, C-D, D-E, E-F, F-A;
     • видимые боковые ребра: C-C', D-D', E-E';
     • видимые ребра заднего основания: C'-D' и D'-E'.
   • Пунктирными линиями (невидимые ребра) изображаем:
     • скрытые боковые ребра: A-A', B-B', F-F';
     • скрытые ребра заднего основания: A'-B', B'-C', E'-F' и F'-A'.

Ответ: Построена прямая шестиугольная призма. Координаты для построения: A(2,0), B(5,0), C(7,2), D(5,4), E(2,4), F(0,2), A'(4,1), B'(7,1), C'(9,3), D'(7,5), E'(4,5), F'(2,3). Видимые ребра: AB, BC, CD, DE, EF, FA, CC', DD', EE', C'D', D'E'. Невидимые ребра: AA', BB', FF', A'B', B'C', E'F', F'A'.

4.3. На клетчатой бумаге изобразите пирамиды, аналогичные данным на рисунке 4.4.

а)

б)

Рис. 4.4

а)

Для того чтобы на клетчатой бумаге изобразить пирамиду, аналогичную представленной на рисунке 4.4а, необходимо последовательно выполнить следующие шаги. За единицу длины примем сторону одной клетки.

1. Сначала нужно отметить на сетке бумаги вершины пирамиды. Для этого определим их координаты. Удобно выбрать начало координат, например, в левом нижнем углу области, где будет располагаться рисунок.
Координаты вершин основания (это четырехугольник):
- первая вершина: $V_1 = (1, 1)$
- вторая вершина: $V_2 = (5, 0)$
- третья вершина: $V_3 = (8, 2)$
- четвертая вершина (которая на рисунке является невидимой): $V_4 = (3, 3)$
Координаты вершины пирамиды (апекса): $A = (4, 5)$.

2. Далее следует соединить отмеченные точки отрезками, которые будут являться ребрами пирамиды. При этом важно правильно определить, какие ребра являются видимыми, а какие — невидимыми (скрытыми) с выбранной точки обзора. Видимые ребра рисуются сплошной линией, а невидимые — пунктирной.

3. Построение видимых ребер (сплошные линии):
- Соединяем вершину пирамиды $A$ с видимыми вершинами основания $V_1$, $V_2$ и $V_3$. Получаем боковые ребра $AV_1$, $AV_2$ и $AV_3$.
- Соединяем видимые вершины основания между собой. Получаем ребра основания $V_1V_2$ и $V_2V_3$.

4. Построение невидимых ребер (пунктирные линии):
- Соединяем вершину пирамиды $A$ с невидимой вершиной основания $V_4$. Получаем боковое ребро $AV_4$.
- Соединяем невидимую вершину $V_4$ с соседними вершинами основания $V_1$ и $V_3$. Получаем ребра основания $V_1V_4$ и $V_4V_3$.

Выполнив эти действия, вы получите на клетчатой бумаге точное изображение четырехугольной пирамиды, как на рисунке 4.4а.

Ответ: Для изображения пирамиды следует отметить на клетчатой бумаге вершины основания в точках с координатами $V_1=(1,1)$, $V_2=(5,0)$, $V_3=(8,2)$, $V_4=(3,3)$ и вершину пирамиды в точке $A=(4,5)$. Затем соединить их отрезками: сплошными линиями для видимых ребер ($AV_1$, $AV_2$, $AV_3$, $V_1V_2$, $V_2V_3$) и пунктирными для невидимых ($AV_4$, $V_1V_4$, $V_4V_3$).

б)

Чтобы изобразить на клетчатой бумаге пирамиду, аналогичную показанной на рисунке 4.4б, нужно следовать приведенной ниже инструкции.

1. Отметим вершины пирамиды по их координатам на клетчатой сетке.
Координаты вершин основания (это пятиугольник):
- первая вершина: $V_1 = (1, 1)$
- вторая вершина: $V_2 = (3, 0)$
- третья вершина: $V_3 = (6, 1)$
- четвертая (невидимая) вершина: $V_4 = (5, 3)$
- пятая (невидимая) вершина: $V_5 = (2, 3)$
Координаты вершины пирамиды (апекса): $A = (4, 6)$.

2. Соединим отмеченные точки отрезками, которые представляют собой ребра пирамиды, разделяя их на видимые (сплошные линии) и невидимые (пунктирные линии).

3. Чертим видимые ребра (сплошные линии):
- боковые ребра, соединяющие вершину $A$ с видимыми вершинами основания: отрезки $AV_1$, $AV_2$ и $AV_3$.
- видимые ребра основания: отрезки $V_1V_2$ и $V_2V_3$.

4. Чертим невидимые ребра (пунктирные линии):
- боковые ребра, идущие к невидимым вершинам основания: отрезки $AV_4$ и $AV_5$.
- невидимые ребра основания: отрезки $V_3V_4$, $V_4V_5$ и $V_5V_1$.

Последовательное выполнение этих шагов позволит построить на клетчатой бумаге пятиугольную пирамиду, аналогичную изображенной на рисунке 4.4б.

Ответ: Чтобы изобразить пирамиду, необходимо отметить на клетчатой бумаге вершины основания в точках $V_1=(1,1)$, $V_2=(3,0)$, $V_3=(6,1)$, $V_4=(5,3)$, $V_5=(2,3)$ и вершину пирамиды в точке $A=(4,6)$. Затем соединить эти точки отрезками: видимые ребра ($AV_1$, $AV_2$, $AV_3$, $V_1V_2$, $V_2V_3$) начертить сплошными линиями, а невидимые ($AV_4$, $AV_5$, $V_3V_4$, $V_4V_5$, $V_5V_1$) — пунктирными.