Номер 4.2, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.2. На клетчатой бумаге изобразите призмы, аналогичные данным на рисунке 4.3.

а)б)в)

Рис. 4.3

Задача состоит в том, чтобы на клетчатой бумаге нарисовать призмы, аналогичные представленным. Это означает, что нужно изобразить другие призмы (например, с другими основаниями или размерами), используя тот же метод косоугольной проекции, который применен в примерах. В этом методе передняя грань или основание изображается без искажений, а глубина показывается параллельными линиями, уходящими назад под некоторым углом. Невидимые ребра изображаются пунктиром.

Ниже представлено пошаговое описание построения трех новых призм на воображаемой клетчатой бумаге с системой координат, где одна клетка соответствует единице.

а)

Построим прямую треугольную призму, отличную от той, что на рисунке. В основании будет лежать равнобедренный треугольник.

1. Начнем с изображения переднего основания призмы. Это треугольник с вершинами в точках A=(0,5), B=(6,5) и C=(3,1).

2. Для создания эффекта глубины выберем вектор проекции, который будет смещать каждую вершину "назад и вверх". Пусть это будет вектор $v = (2, 2)$.

3. Найдем координаты вершин заднего основания, прибавив вектор $v$ к координатам вершин переднего основания:

   • $A' = (0+2, 5+2) = (2,7)$
   • $B' = (6+2, 5+2) = (8,7)$
   • $C' = (3+2, 1+2) = (5,3)$

4. Теперь соединим соответствующие вершины и определим видимость ребер. При взгляде на призму спереди и немного снизу, задняя вершина C' будет скрыта передним основанием.

   • Сплошными линиями (видимые ребра) изображаем:
     • ребра переднего основания: отрезки A-B, B-C и C-A;
     • боковые ребра, идущие от видимых передних вершин A и B: отрезки A-A' и B-B';
     • видимую часть заднего основания: отрезок A'-B'.
   • Пунктирными линиями (невидимые ребра) изображаем:
     • скрытое боковое ребро: отрезок C-C';
     • скрытые ребра заднего основания: отрезки A'-C' и B'-C'.

Ответ: Построенная призма является прямой треугольной призмой. Ее можно нарисовать на клетчатой бумаге, последовательно соединяя указанные точки. Вершины: A(0,5), B(6,5), C(3,1), A'(2,7), B'(8,7), C'(5,3). Видимые ребра: AB, BC, CA, AA', BB', A'B'. Невидимые ребра: CC', A'C', B'C'.

б)

Построим прямую пятиугольную призму, используя другой пятиугольник в основании и другой вектор проекции.

1. Нарисуем переднее основание призмы — пятиугольник с вершинами в точках A=(1,0), B=(5,0), C=(6,3), D=(3,5) и E=(0,3).

2. Для создания глубины используем вектор проекции $v = (-2, 1)$. Это означает, что каждая задняя вершина будет на 2 клетки левее и на 1 клетку выше соответствующей передней.

3. Найдем координаты вершин заднего основания:

   • $A' = (1-2, 0+1) = (-1,1)$
   • $B' = (5-2, 0+1) = (3,1)$
   • $C' = (6-2, 3+1) = (4,4)$
   • $D' = (3-2, 5+1) = (1,6)$
   • $E' = (0-2, 3+1) = (-2,4)$

4. Соединим вершины. При взгляде спереди и справа, левые задние вершины E' и A' будут невидимы. Вершины B', C' и D' будут видны.

   • Сплошными линиями (видимые ребра) изображаем:
     • все ребра переднего основания: A-B, B-C, C-D, D-E, E-A;
     • видимые боковые ребра: B-B', C-C', D-D';
     • видимые ребра заднего основания: B'-C' и C'-D'.
   • Пунктирными линиями (невидимые ребра) изображаем:
     • скрытые боковые ребра: A-A' и E-E';
     • скрытые ребра заднего основания: A'-B', D'-E' и E'-A'.

Ответ: Построена прямая пятиугольная призма. Координаты вершин для построения: A(1,0), B(5,0), C(6,3), D(3,5), E(0,3), A'(-1,1), B'(3,1), C'(4,4), D'(1,6), E'(-2,4). Видимые ребра: AB, BC, CD, DE, EA, BB', CC', DD', B'C', C'D'. Невидимые ребра: AA', EE', A'B', D'E', E'A'.

в)

Построим прямую шестиугольную призму с основанием в виде неправильного, но симметричного шестиугольника.

1. Изобразим переднее основание — шестиугольник с вершинами в точках A=(2,0), B=(5,0), C=(7,2), D=(5,4), E=(2,4) и F=(0,2).

2. Выберем вектор проекции, например, $v = (2, 1)$. Каждая задняя вершина будет на 2 клетки правее и на 1 клетку выше передней.

3. Найдем координаты вершин заднего основания:

   • $A' = (2+2, 0+1) = (4,1)$
   • $B' = (5+2, 0+1) = (7,1)$
   • $C' = (7+2, 2+1) = (9,3)$
   • $D' = (5+2, 4+1) = (7,5)$
   • $E' = (2+2, 4+1) = (4,5)$
   • $F' = (0+2, 2+1) = (2,3)$

4. Соединим вершины. При взгляде спереди и немного снизу-слева, задние вершины, находящиеся "за" передней гранью (F', A', B'), будут невидимы. Вершины C', D', E' будут видны.

   • Сплошными линиями (видимые ребра) изображаем:
     • все ребра переднего основания: A-B, B-C, C-D, D-E, E-F, F-A;
     • видимые боковые ребра: C-C', D-D', E-E';
     • видимые ребра заднего основания: C'-D' и D'-E'.
   • Пунктирными линиями (невидимые ребра) изображаем:
     • скрытые боковые ребра: A-A', B-B', F-F';
     • скрытые ребра заднего основания: A'-B', B'-C', E'-F' и F'-A'.

Ответ: Построена прямая шестиугольная призма. Координаты для построения: A(2,0), B(5,0), C(7,2), D(5,4), E(2,4), F(0,2), A'(4,1), B'(7,1), C'(9,3), D'(7,5), E'(4,5), F'(2,3). Видимые ребра: AB, BC, CD, DE, EF, FA, CC', DD', EE', C'D', D'E'. Невидимые ребра: AA', BB', FF', A'B', B'C', E'F', F'A'.