Страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2.4. Даны четыре точки, не принадлежащие одной плоскости. Могут ли три из них принадлежать одной прямой?

Для решения этой задачи воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что три из четырех данных точек, назовем их $A$, $B$ и $C$, лежат на одной прямой, которую обозначим $a$. Четвертая точка, $D$, не может лежать на этой же прямой, так как в противном случае все четыре точки были бы коллинеарны, а значит, лежали бы в одной плоскости (на самом деле, в бесконечном множестве плоскостей), что противоречило бы условию.

Итак, мы имеем прямую $a$, на которой лежат точки $A$, $B$, $C$, и точку $D$, которая на этой прямой не лежит.

Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Проведем через нашу прямую $a$ и точку $D$ эту единственную плоскость, обозначим ее $\alpha$.

Поскольку прямая $a$ полностью принадлежит плоскости $\alpha$, то и все точки, лежащие на этой прямой (включая $A$, $B$ и $C$), также принадлежат плоскости $\alpha$. По построению, точка $D$ тоже принадлежит плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что все четыре точки ($A$, $B$, $C$ и $D$) лежат в одной плоскости $\alpha$.

Это напрямую противоречит условию задачи, в котором говорится, что данные четыре точки не принадлежат одной плоскости.

Следовательно, наше первоначальное предположение было ложным, и три из четырех точек, не принадлежащих одной плоскости, не могут лежать на одной прямой.

Ответ: Нет, не могут.

три из них принадлежат одной прямой.

2.5. Могут ли две плоскости иметь только: а) одну общую точку; б) две общие точки?

а)

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к аксиомам стереометрии. Одна из ключевых аксиом о взаимном расположении плоскостей гласит: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Предположим, что две плоскости, назовем их $\alpha$ и $\beta$, имеют только одну общую точку $A$. Согласно вышеупомянутой аксиоме, поскольку у плоскостей $\alpha$ и $\beta$ есть общая точка $A$, они обязаны пересекаться по некоторой прямой $a$, которая проходит через эту точку $A$.

Любая прямая состоит из бесконечного множества точек. Таким образом, если две плоскости имеют одну общую точку, они автоматически имеют и все остальные точки прямой их пересечения, то есть бесконечное множество общих точек. Это напрямую противоречит условию, что общая точка только одна. Следовательно, две плоскости не могут иметь только одну общую точку.

Ответ: Нет, не могут.

б)

Этот случай также рассматривается с помощью аксиом стереометрии. В частности, нам понадобится аксиома принадлежности точек и прямой плоскости: если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Предположим, что две плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют ровно две общие точки, назовем их $A$ и $B$. Поскольку точки $A$ и $B$ являются общими, они принадлежат как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$.

Через две различные точки $A$ и $B$ можно провести единственную прямую. Обозначим ее как прямую $c$. Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме принадлежности вся прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$. Аналогично, так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\beta$, то вся прямая $c$ лежит и в плоскости $\beta$.

Получается, что все точки прямой $c$ являются общими для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. А так как прямая состоит из бесконечного множества точек, то у плоскостей не две, а бесконечно много общих точек. Это противоречит условию, что общих точек только две. Следовательно, две плоскости не могут иметь только две общие точки.

Ответ: Нет, не могут.

2.6. Могут ли две плоскости иметь только две общие прямые?

Нет, две плоскости не могут иметь только две общие прямые. Чтобы доказать это, рассмотрим возможные случаи взаимного расположения двух плоскостей в пространстве и воспользуемся аксиомами стереометрии.

Согласно одной из аксиом стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Все общие точки двух плоскостей лежат на этой прямой. Из этого следует, что две различные плоскости могут либо не иметь общих точек (быть параллельными), либо пересекаться ровно по одной прямой.

Докажем от противного, что двух общих прямых быть не может. Предположим, что две различные плоскости, назовем их $\alpha$ и $\beta$, имеют две различные общие прямые, назовем их $a$ и $b$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости (например, в $\alpha$), они могут быть либо пересекающимися, либо параллельными.

1. Случай, когда прямые $a$ и $b$ пересекаются. Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. По теореме о единственности плоскости, через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Поскольку обе прямые $a$ и $b$ принадлежат как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$, то обе эти плоскости должны совпадать с той единственной плоскостью, которая проходит через прямые $a$ и $b$. Следовательно, $\alpha$ и $\beta$ — это одна и та же плоскость. Это противоречит нашему начальному предположению, что плоскости различны.

2. Случай, когда прямые $a$ и $b$ параллельны. По теореме о единственности плоскости, через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Так как обе параллельные прямые $a$ и $b$ лежат и в плоскости $\alpha$, и в плоскости $\beta$, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ должны совпадать. Это снова противоречит предположению о том, что плоскости различны.

Таким образом, если две плоскости имеют две общие прямые, они обязательно совпадают. А если плоскости совпадают, они имеют бесконечное множество общих прямых, а не только две.

Ответ: Нет, не могут. Две различные плоскости могут либо быть параллельными (и не иметь общих прямых), либо пересекаться по одной прямой. Если же две плоскости имеют две или более общих прямых, они совпадают.

2.7. Точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$. Определите по рисунку 2.4, каким еще плоскостям принадлежит точка $M$.

Рис. 2.4

Для решения данной задачи необходимо внимательно рассмотреть предложенный рисунок и применить основные аксиомы стереометрии, касающиеся принадлежности точек и прямых плоскостям.

По условию, точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$. На рисунке мы видим, что через точку $M$ проходит прямая, которая является линией пересечения плоскости $\alpha$ с другими плоскостями.

1. Рассмотрим плоскость $\beta$. Эта плоскость пересекает плоскость $\alpha$ по некоторой прямой. Из рисунка видно, что точка $M$ лежит на этой прямой пересечения. Согласно аксиоме, если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой, и любая точка на этой прямой принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, точка $M$ принадлежит плоскости $\beta$.

2. Рассмотрим плоскость $\gamma$. Аналогично, плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой, на которой также лежит точка $M$. Это означает, что точка $M$ является общей для плоскостей $\alpha$ и $\gamma$, и, следовательно, принадлежит плоскости $\gamma$.

3. Рассмотрим плоскости $\delta$ и $\pi$. Эти плоскости также пересекают плоскость $\alpha$, образуя линии пересечения. Однако, точка $M$ не лежит ни на линии пересечения плоскости $\delta$ с плоскостью $\alpha$, ни на линии пересечения плоскости $\pi$ с плоскостью $\alpha$. Поэтому точка $M$ не принадлежит ни плоскости $\delta$, ни плоскости $\pi$.

Таким образом, на основании визуального анализа рисунка 2.4, можно заключить, что точка $M$, помимо плоскости $\alpha$, принадлежит также плоскостям $\beta$ и $\gamma$.

Ответ: Точка $M$ также принадлежит плоскостям $\beta$ и $\gamma$.

2.8. На рисунке 2.5 попарно пересекающиеся прямые $a, b, c$ пересекают плоскость соответственно в точках $A, B, C$. Правильно ли выполнен рисунок?

Рис. 2.5

Для того чтобы определить, правильно ли выполнен рисунок, необходимо проанализировать заданные условия с точки зрения аксиом и теорем стереометрии.

По условию, прямые a, b и c попарно пересекаются. Это означает, что существует точка пересечения для каждой пары прямых: ($a \cap b$), ($b \cap c$), ($a \cap c$).

Согласно основной теореме о расположении трех попарно пересекающихся прямых в пространстве, возможны только два случая:

1. Все три прямые проходят через одну общую точку.
В этом случае прямые a, b и c пересекаются в некоторой точке S. Если эта точка S не принадлежит плоскости $\alpha$, то прямые, проходя через нее, пересекут плоскость $\alpha$ в трех различных точках A, B и C. В общем случае эти точки не будут лежать на одной прямой, а образуют треугольник. Такая пространственная конфигурация возможна.

2. Все три прямые лежат в одной плоскости.
Пусть прямые a, b и c лежат в некоторой плоскости, назовем ее $\beta$. Эта плоскость $\beta$ пересекается с плоскостью $\alpha$. Линией пересечения двух различных плоскостей является прямая. Обозначим эту прямую пересечения как l.
Точка A — это точка пересечения прямой a и плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $a \in \beta$, то точка $A$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. Следовательно, точка A должна лежать на линии их пересечения l.
Аналогично, точка B (как $b \cap \alpha$) и точка C (как $c \cap \alpha$) также должны принадлежать прямой l.
Таким образом, если три попарно пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости, то точки их пересечения с любой другой плоскостью должны лежать на одной прямой (быть коллинеарными).

Теперь вернемся к рисунку 2.5. На нем показано, что прямые a, b и c пересекаются попарно, но в трех разных точках. Это означает, что они не проходят через одну общую точку. Следовательно, на рисунке изображена ситуация, соответствующая второму случаю: прямые a, b и c должны лежать в одной плоскости.

Исходя из этого, точки A, B и C (точки пересечения этих прямых с плоскостью $\alpha$) должны лежать на одной прямой. Однако на рисунке точки A, B и C явно не лежат на одной прямой, а образуют вершины треугольника.

Таким образом, в рисунке заложено противоречие. Конфигурация прямых a, b, c подразумевает, что точки A, B, C должны быть коллинеарны, но они изображены как неколлинеарные.

Ответ: Рисунок выполнен неправильно.

2.9. Две вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма принадлежат одной плоскости. Верно ли, что и две другие вершины параллелограмма принадлежат этой плоскости?

Для ответа на данный вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая, в зависимости от того, какие именно две вершины принадлежат плоскости.

Случай 1: Две данные вершины являются смежными.
Пусть задан параллелограмм $ABCD$, а точка пересечения его диагоналей — $O$. Предположим, что смежные вершины $A$ и $B$, а также точка $O$, принадлежат одной плоскости $\alpha$.
В параллелограмме вершины $A$, $B$ и центр $O$ не лежат на одной прямой (иначе вершина $B$ оказалась бы на диагонали $AC$, что для невырожденного параллелограмма невозможно). Три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость. Следовательно, плоскость $\alpha$ — это плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $O$.
По свойству диагоналей параллелограмма, точка $O$ является серединой диагонали $AC$. Это значит, что точка $C$ лежит на прямой $AO$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой (в данном случае $A$ и $O$) принадлежат плоскости (в данном случае $\alpha$), то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, точка $C$ также принадлежит плоскости $\alpha$.
Аналогично, точка $O$ является серединой диагонали $BD$. Это значит, что точка $D$ лежит на прямой $BO$. Так как точки $B$ и $O$ принадлежат плоскости $\alpha$, то и вся прямая $BO$ принадлежит этой плоскости. Следовательно, точка $D$ также принадлежит плоскости $\alpha$.
В этом случае утверждение верно: две другие вершины ($C$ и $D$) также принадлежат этой плоскости.

Случай 2: Две данные вершины являются противолежащими.
Предположим, что противолежащие вершины $A$ и $C$, а также точка $O$, принадлежат плоскости $\alpha$.
Точки $A$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой — диагонали $AC$. Следовательно, вся прямая $AC$ принадлежит плоскости $\alpha$.
Две другие вершины, $B$ и $D$, лежат на другой диагонали $BD$. Прямая $BD$ проходит через точку $O$, которая принадлежит плоскости $\alpha$. Однако это не означает, что вся прямая $BD$ обязана лежать в плоскости $\alpha$. Прямая может пересекать плоскость в одной точке.
Рассмотрим контрпример. Введем в пространстве прямоугольную систему координат. Пусть плоскость $\alpha$ совпадает с плоскостью $Oxy$ (то есть все точки этой плоскости имеют координату $z=0$).
Выберем в плоскости $\alpha$ вершины $A(-1, 0, 0)$ и $C(1, 0, 0)$. Точка пересечения диагоналей $O$ — это середина отрезка $AC$, ее координаты $O(0, 0, 0)$. Все три точки ($A$, $C$, $O$) лежат в плоскости $\alpha$.
Теперь найдем такие вершины $B$ и $D$, чтобы они не лежали в плоскости $\alpha$. Точка $O$ должна быть серединой отрезка $BD$. Пусть вершина $B$ имеет координаты $(0, 2, 3)$. Тогда, чтобы $O$ была серединой $BD$, вершина $D$ должна иметь координаты $(0, -2, -3)$. Координата $z$ для точек $B$ и $D$ не равна нулю, значит, они не принадлежат плоскости $\alpha$.
Проверим, является ли полученная фигура $ABCD$ параллелограммом. Для этого достаточно проверить равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.
$\vec{AB} = (0 - (-1), 2 - 0, 3 - 0) = (1, 2, 3)$
$\vec{DC} = (1 - 0, 0 - (-2), 0 - (-3)) = (1, 2, 3)$
Поскольку $\vec{AB} = \vec{DC}$, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.
Мы построили пример, в котором две противолежащие вершины ($A$ и $C$) и точка пересечения диагоналей ($O$) лежат в одной плоскости, а две другие вершины ($B$ и $D$) этой плоскости не принадлежат.
Следовательно, в данном случае утверждение не всегда верно.

Поскольку существует случай (когда данные вершины противолежащие), в котором утверждение не выполняется, то общее утверждение является неверным.

Ответ: Нет, неверно.

2.10. Что является пересечением двух плоскостей, изображенных на рисунке 2.6?

Рис. 2.6

2.10. На рисунке изображены две плоскости, обозначенные греческими буквами $\alpha$ и $\beta$. Для того чтобы определить, что является их пересечением, необходимо обратиться к аксиомам стереометрии.
Согласно аксиоме о пересечении двух плоскостей, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, которая содержит все общие точки этих плоскостей.
На рисунке 2.6 мы видим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны и не совпадают, а значит, они имеют общие точки. Множество всех этих общих точек образует прямую линию. Эта линия пересечения частично изображена на рисунке и проходит через точку C.
Таким образом, пересечением двух данных плоскостей является прямая.
Ответ: прямая.

2.11. На сколько частей разбивают пространство:

а) две;

б) три пересекающиеся плоскости?

а)

Рассмотрим, на сколько частей разбивают пространство две пересекающиеся плоскости.

Одна плоскость делит все пространство на две части, которые называют полупространствами.

Вторая плоскость, пересекая первую, проходит через оба этих полупространства и делит каждое из них на две новые части. Линия пересечения двух плоскостей делит вторую плоскость на две полуплоскости, и каждая из них создает новую границу в одном из исходных полупространств.

Таким образом, общее количество частей становится $2 \times 2 = 4$.

Иначе говоря, к двум исходным частям от первой плоскости вторая плоскость добавляет еще две. Общее количество частей: $2 + 2 = 4$. Эти четыре части представляют собой четыре двугранных угла, сходящихся на линии пересечения плоскостей.

Ответ: 4

б)

Для трех пересекающихся плоскостей количество частей, на которые они разбивают пространство, зависит от их взаимного расположения. Существует три основных случая для трех пересекающихся плоскостей.

Случай 1: Все три плоскости пересекаются по одной общей прямой.

Это можно представить как три страницы книги, сходящиеся в переплете. Первые две плоскости делят пространство на 4 части (четыре двугранных угла). Третья плоскость также проходит через их общую линию пересечения. Она располагается в двух противолежащих двугранных углах и делит каждый из них пополам. Следовательно, к четырем существующим частям добавляются еще две.
Общее число частей: $4 + 2 = 6$.

Случай 2: Плоскости попарно пересекаются, но три линии их пересечения параллельны друг другу.

В этом случае плоскости образуют фигуру, похожую на бесконечную треугольную призму. Как и в предыдущем случае, первые две плоскости создают 4 части пространства. Третья плоскость пересекает первые две, но не по их общей линии (так как ее нет). Линии пересечения третьей плоскости с первыми двумя параллельны. Две параллельные прямые делят плоскость на 3 области. Каждая из этих трех областей на третьей плоскости разрезает одну из ранее существовавших частей пространства, тем самым добавляя 3 новые части.
Общее число частей: $4 + 3 = 7$.

Случай 3: Плоскости находятся в общем положении.

Это наиболее общий случай, который дает максимальное количество частей. "Общее положение" означает, что плоскости попарно пересекаются, но нет прямой, общей для всех трех плоскостей, и нет точки, общей для всех трех плоскостей. Ой, нет, это неверно. Общее положение как раз и означает, что они пересекаются в одной-единственной точке. Правильная формулировка: никакие две плоскости не параллельны, и линия пересечения любых двух плоскостей не параллельна третьей плоскости. В результате все три плоскости пересекаются в одной точке.
Начнем снова с 4 частей, образованных двумя плоскостями. Третья плоскость пересекает первые две по двум пересекающимся прямым. Эти две пересекающиеся прямые делят третью плоскость на 4 области. Каждая из этих 4 областей разрезает одну из 4 существующих частей пространства, добавляя 4 новые части.
Общее число частей: $4 + 4 = 8$.
Простой наглядный пример – три взаимно перпендикулярные координатные плоскости (Oxy, Oxz, Oyz) в пространстве. Они пересекаются в начале координат и делят пространство на 8 октантов.

Итак, три пересекающиеся плоскости могут делить пространство на 6, 7 или 8 частей. В математических задачах, если не дано дополнительных уточнений, обычно рассматривается случай общего положения, который дает максимальное число частей.

Ответ: 8 (в случае общего положения); также возможны конфигурации, дающие 6 или 7 частей.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

2.12. Повторите определение многоугольника.

2.12. Многоугольник — это геометрическая фигура, определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Эта ломаная состоит из отрезков, которые называются сторонами многоугольника, а точки их соединения — вершинами. Важным условием для простого многоугольника является отсутствие самопересечений у его сторон (кроме как в вершинах).

Ключевыми элементами многоугольника являются его вершины (например, $A_1, A_2, \dots, A_n$), стороны (отрезки, соединяющие соседние вершины, например, $A_1A_2$), внутренние углы (образованные соседними сторонами) и диагонали (отрезки, соединяющие несоседние вершины).

Многоугольники можно классифицировать по разным признакам.
По количеству сторон они делятся на треугольники (3 стороны), четырехугольники (4 стороны), пятиугольники (5 сторон) и т.д. В общем виде многоугольник с $n$ сторонами называется n-угольником.
По выпуклости различают выпуклые и невыпуклые (вогнутые) многоугольники. Выпуклый многоугольник полностью лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону, и все его внутренние углы меньше $180^\circ$. Если это условие не выполняется, многоугольник является невыпуклым.
Особый вид многоугольников — правильные многоугольники. Это выпуклые многоугольники, у которых все стороны и все внутренние углы равны между собой.

Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника равна $(n-2) \cdot 180^\circ$. Количество диагоналей в n-угольнике определяется формулой $N = \frac{n(n-3)}{2}$.

Ответ: Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией без самопересечений. Его основными элементами являются вершины, стороны и углы. Многоугольники классифицируют по числу сторон (треугольник, четырехугольник и т.д.), по форме (выпуклые и невыпуклые) и по соотношению сторон и углов (правильные и неправильные).