Номер 2.5, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

три из них принадлежат одной прямой.

2.5. Могут ли две плоскости иметь только: а) одну общую точку; б) две общие точки?

а)

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к аксиомам стереометрии. Одна из ключевых аксиом о взаимном расположении плоскостей гласит: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Предположим, что две плоскости, назовем их $\alpha$ и $\beta$, имеют только одну общую точку $A$. Согласно вышеупомянутой аксиоме, поскольку у плоскостей $\alpha$ и $\beta$ есть общая точка $A$, они обязаны пересекаться по некоторой прямой $a$, которая проходит через эту точку $A$.

Любая прямая состоит из бесконечного множества точек. Таким образом, если две плоскости имеют одну общую точку, они автоматически имеют и все остальные точки прямой их пересечения, то есть бесконечное множество общих точек. Это напрямую противоречит условию, что общая точка только одна. Следовательно, две плоскости не могут иметь только одну общую точку.

Ответ: Нет, не могут.

б)

Этот случай также рассматривается с помощью аксиом стереометрии. В частности, нам понадобится аксиома принадлежности точек и прямой плоскости: если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Предположим, что две плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют ровно две общие точки, назовем их $A$ и $B$. Поскольку точки $A$ и $B$ являются общими, они принадлежат как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$.

Через две различные точки $A$ и $B$ можно провести единственную прямую. Обозначим ее как прямую $c$. Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме принадлежности вся прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$. Аналогично, так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\beta$, то вся прямая $c$ лежит и в плоскости $\beta$.

Получается, что все точки прямой $c$ являются общими для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. А так как прямая состоит из бесконечного множества точек, то у плоскостей не две, а бесконечно много общих точек. Это противоречит условию, что общих точек только две. Следовательно, две плоскости не могут иметь только две общие точки.

Ответ: Нет, не могут.