Вопросы, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что означает слово "аксиома"?

2. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

3. Как расположены прямая и плоскость, если прямая имеет с плоскостью две общие точки?

4. Сколько плоскостей проходит через прямую и не принадлежащую ей точку?

5. Сколько плоскостей проходит через две пересекающиеся прямые?

1. Что означает слово "аксиома"?
Слово "аксиома" происходит от древнегреческого слова ἀξίωμα (axioma), что означает "достойное принятия", "значимое утверждение". В науке, и в частности в математике, аксиома — это исходное утверждение или положение какой-либо теории, которое принимается истинным без доказательств. Аксиомы служат фундаментом, отправной точкой для построения всей теории и для доказательства других утверждений, называемых теоремами. Они выбираются таким образом, чтобы быть интуитивно очевидными или являться базовыми соглашениями, на которых строится логическая система.
Ответ: Аксиома — это исходное утверждение, принимаемое без доказательств, на основе которого строятся другие доказательства в теории.

2. Сформулируйте аксиомы стереометрии.
Стереометрия, как раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве, базируется на трех основных аксиомах, которые определяют свойства точек, прямых и плоскостей:
Аксиома 1 (А1): Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2 (А2): Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
Аксиома 3 (А3): Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (то есть, две плоскости пересекаются по прямой).
Ответ: Основные аксиомы стереометрии: 1) Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. 2) Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. 3) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

3. Как расположены прямая и плоскость, если прямая имеет с плоскостью две общие точки?
Расположение прямой и плоскости в данном случае определяется второй аксиомой стереометрии (А2). Эта аксиома утверждает: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
Пусть прямая $a$ и плоскость $\alpha$ имеют две общие точки, например, $A$ и $B$. Поскольку обе точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$, по аксиоме А2 следует, что любая точка прямой $a$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Это означает, что прямая целиком лежит в плоскости.
Ответ: Прямая лежит в этой плоскости (принадлежит ей).

4. Сколько плоскостей проходит через прямую и не принадлежащую ей точку?
Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит одна и только одна плоскость. Это утверждение является следствием (теоремой) из аксиом стереометрии и одним из способов задания плоскости.
Рассуждение выглядит так:
1. Пусть у нас есть прямая $l$ и точка $P$, которая не лежит на прямой $l$ ($P \notin l$).
2. На прямой $l$ можно выбрать две любые различные точки, например, $A$ и $B$.
3. В результате мы имеем три точки: $A$, $B$ и $P$. Эти точки не лежат на одной прямой (не коллинеарны), потому что точка $P$ по условию не принадлежит прямой $l$, на которой лежат $A$ и $B$.
4. Согласно первой аксиоме стереометрии (А1), через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость.
Эта единственная плоскость будет содержать и прямую $l$ (по аксиоме А2, так как она проходит через точки $A$ и $B$), и точку $P$.
Ответ: Только одна плоскость.

5. Сколько плоскостей проходит через две пересекающиеся прямые?
Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость. Это также является следствием из аксиом и еще одним способом задания плоскости.
Рассуждение выглядит так:
1. Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$.
2. Возьмем на прямой $a$ точку $A$, не совпадающую с $M$.
3. Возьмем на прямой $b$ точку $B$, не совпадающую с $M$.
4. Мы получили три точки: $A$, $B$ и $M$. Эти три точки не лежат на одной прямой. Если бы они лежали на одной прямой, то эта прямая должна была бы совпадать и с прямой $a$ (проходящей через $A$ и $M$), и с прямой $b$ (проходящей через $B$ и $M$), что противоречит условию, что $a$ и $b$ — две разные прямые.
5. По аксиоме А1, через три неколлинеарные точки $A$, $B$ и $M$ проходит единственная плоскость.
Эта плоскость содержит прямую $a$ (так как проходит через точки $A$ и $M$) и прямую $b$ (так как проходит через точки $B$ и $M$), согласно аксиоме А2.
Ответ: Только одна плоскость.