Номер 2.6, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2.6. Могут ли две плоскости иметь только две общие прямые?

Нет, две плоскости не могут иметь только две общие прямые. Чтобы доказать это, рассмотрим возможные случаи взаимного расположения двух плоскостей в пространстве и воспользуемся аксиомами стереометрии.

Согласно одной из аксиом стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Все общие точки двух плоскостей лежат на этой прямой. Из этого следует, что две различные плоскости могут либо не иметь общих точек (быть параллельными), либо пересекаться ровно по одной прямой.

Докажем от противного, что двух общих прямых быть не может. Предположим, что две различные плоскости, назовем их $\alpha$ и $\beta$, имеют две различные общие прямые, назовем их $a$ и $b$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости (например, в $\alpha$), они могут быть либо пересекающимися, либо параллельными.

1. Случай, когда прямые $a$ и $b$ пересекаются. Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. По теореме о единственности плоскости, через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Поскольку обе прямые $a$ и $b$ принадлежат как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$, то обе эти плоскости должны совпадать с той единственной плоскостью, которая проходит через прямые $a$ и $b$. Следовательно, $\alpha$ и $\beta$ — это одна и та же плоскость. Это противоречит нашему начальному предположению, что плоскости различны.

2. Случай, когда прямые $a$ и $b$ параллельны. По теореме о единственности плоскости, через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Так как обе параллельные прямые $a$ и $b$ лежат и в плоскости $\alpha$, и в плоскости $\beta$, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ должны совпадать. Это снова противоречит предположению о том, что плоскости различны.

Таким образом, если две плоскости имеют две общие прямые, они обязательно совпадают. А если плоскости совпадают, они имеют бесконечное множество общих прямых, а не только две.

Ответ: Нет, не могут. Две различные плоскости могут либо быть параллельными (и не иметь общих прямых), либо пересекаться по одной прямой. Если же две плоскости имеют две или более общих прямых, они совпадают.