Номер 2.11, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2.11. На сколько частей разбивают пространство:

а) две;

б) три пересекающиеся плоскости?

а)

Рассмотрим, на сколько частей разбивают пространство две пересекающиеся плоскости.

Одна плоскость делит все пространство на две части, которые называют полупространствами.

Вторая плоскость, пересекая первую, проходит через оба этих полупространства и делит каждое из них на две новые части. Линия пересечения двух плоскостей делит вторую плоскость на две полуплоскости, и каждая из них создает новую границу в одном из исходных полупространств.

Таким образом, общее количество частей становится $2 \times 2 = 4$.

Иначе говоря, к двум исходным частям от первой плоскости вторая плоскость добавляет еще две. Общее количество частей: $2 + 2 = 4$. Эти четыре части представляют собой четыре двугранных угла, сходящихся на линии пересечения плоскостей.

Ответ: 4

б)

Для трех пересекающихся плоскостей количество частей, на которые они разбивают пространство, зависит от их взаимного расположения. Существует три основных случая для трех пересекающихся плоскостей.

Случай 1: Все три плоскости пересекаются по одной общей прямой.

Это можно представить как три страницы книги, сходящиеся в переплете. Первые две плоскости делят пространство на 4 части (четыре двугранных угла). Третья плоскость также проходит через их общую линию пересечения. Она располагается в двух противолежащих двугранных углах и делит каждый из них пополам. Следовательно, к четырем существующим частям добавляются еще две.
Общее число частей: $4 + 2 = 6$.

Случай 2: Плоскости попарно пересекаются, но три линии их пересечения параллельны друг другу.

В этом случае плоскости образуют фигуру, похожую на бесконечную треугольную призму. Как и в предыдущем случае, первые две плоскости создают 4 части пространства. Третья плоскость пересекает первые две, но не по их общей линии (так как ее нет). Линии пересечения третьей плоскости с первыми двумя параллельны. Две параллельные прямые делят плоскость на 3 области. Каждая из этих трех областей на третьей плоскости разрезает одну из ранее существовавших частей пространства, тем самым добавляя 3 новые части.
Общее число частей: $4 + 3 = 7$.

Случай 3: Плоскости находятся в общем положении.

Это наиболее общий случай, который дает максимальное количество частей. "Общее положение" означает, что плоскости попарно пересекаются, но нет прямой, общей для всех трех плоскостей, и нет точки, общей для всех трех плоскостей. Ой, нет, это неверно. Общее положение как раз и означает, что они пересекаются в одной-единственной точке. Правильная формулировка: никакие две плоскости не параллельны, и линия пересечения любых двух плоскостей не параллельна третьей плоскости. В результате все три плоскости пересекаются в одной точке.
Начнем снова с 4 частей, образованных двумя плоскостями. Третья плоскость пересекает первые две по двум пересекающимся прямым. Эти две пересекающиеся прямые делят третью плоскость на 4 области. Каждая из этих 4 областей разрезает одну из 4 существующих частей пространства, добавляя 4 новые части.
Общее число частей: $4 + 4 = 8$.
Простой наглядный пример – три взаимно перпендикулярные координатные плоскости (Oxy, Oxz, Oyz) в пространстве. Они пересекаются в начале координат и делят пространство на 8 октантов.

Итак, три пересекающиеся плоскости могут делить пространство на 6, 7 или 8 частей. В математических задачах, если не дано дополнительных уточнений, обычно рассматривается случай общего положения, который дает максимальное число частей.

Ответ: 8 (в случае общего положения); также возможны конфигурации, дающие 6 или 7 частей.