Номер 3.1, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3.1. Сколько вершин ($B$), ребер ($P$) и граней ($\Gamma$) имеет: а) тетраэдр; б) куб; в) параллелепипед?

а) Тетраэдр — это многогранник, ограниченный четырьмя треугольными гранями. Его можно представить как треугольную пирамиду.
- Вершины ($В$): Тетраэдр имеет 3 вершины в основании и 1 вершину сверху (апекс). Общее количество вершин: $3 + 1 = 4$.
- Рёбра ($Р$): Три ребра образуют треугольное основание, и еще три ребра соединяют вершины основания с апексом. Общее количество рёбер: $3 + 3 = 6$.
- Грани ($Г$): Одна грань является основанием (треугольник), и три боковые грани (также треугольники) образуют боковую поверхность. Общее количество граней: $1 + 3 = 4$.
Эти значения удовлетворяют формуле Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$.
Подставим наши значения: $4 - 6 + 4 = 2$. Равенство выполняется.
Ответ: 4 вершины, 6 рёбер, 4 грани.

б) Куб — это правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Куб является частным случаем параллелепипеда и призмы.
- Вершины ($В$): У куба есть 4 вершины на нижнем основании и 4 вершины на верхнем основании. Общее количество вершин: $4 + 4 = 8$.
- Рёбра ($Р$): Четыре ребра на нижнем основании, четыре на верхнем и четыре боковых ребра, соединяющих соответствующие вершины оснований. Общее количество рёбер: $4 + 4 + 4 = 12$.
- Грани ($Г$): Одно нижнее основание, одно верхнее основание и четыре боковые грани. Общее количество граней: $1 + 1 + 4 = 6$.
Проверим по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 2$.
Подставим значения для куба: $8 - 12 + 6 = 2$. Равенство выполняется.
Ответ: 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней.

в) Параллелепипед — это многогранник (призма), у которого шесть граней, и каждая из них — параллелограмм.
- Вершины ($В$): Аналогично кубу, у параллелепипеда 4 вершины на нижнем основании и 4 на верхнем. Общее количество вершин: $8$.
- Рёбра ($Р$): Четыре ребра на нижнем основании, четыре на верхнем и четыре боковых ребра. Общее количество рёбер: $12$.
- Грани ($Г$): Два основания (нижнее и верхнее) и четыре боковые грани. Общее количество граней: $6$.
Как видно, у любого параллелепипеда такое же количество вершин, рёбер и граней, как у куба.
Проверка по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 2$.
Подставим значения: $8 - 12 + 6 = 2$. Равенство выполняется.
Ответ: 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней.