Номер 3.8, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3.8. Сколько диагоналей имеет:
а) тетраэдр;
б) куб;
в) параллелепипед?

а)

Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани. Тетраэдр — это многогранник, у которого 4 вершины и 4 треугольные грани. Любые три вершины тетраэдра образуют одну из его граней. Следовательно, любые две вершины тетраэдра всегда принадлежат одной общей грани (они соединены ребром, которое принадлежит двум граням). Так как невозможно найти две вершины, которые не лежали бы на одной грани, то, по определению, у тетраэдра нет диагоналей.
Другой способ рассуждения: общее число отрезков, которое можно провести между 4 вершинами тетраэдра, равно числу сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$. У тетраэдра ровно 6 рёбер. Таким образом, все возможные отрезки, соединяющие вершины, являются рёбрами, а диагоналей нет.
Ответ: 0.

б)

Куб — это многогранник, имеющий 8 вершин, 12 рёбер и 6 квадратных граней. Диагональ куба соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани. Такие вершины называются противолежащими. Если выбрать любую вершину куба, то ровно одна из оставшихся семи вершин будет для неё противолежащей. Например, в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ для вершины A противолежащей будет вершина $C_1$.
Всего у куба 8 вершин. Каждая из них образует диагональ с одной, противолежащей ей, вершиной. Так как каждая диагональ соединяет две вершины (диагональ $AC_1$ — это то же самое, что и $C_1A$), то общее количество диагоналей равно числу вершин, разделённому на два: $8 / 2 = 4$.
Ответ: 4.

в)

Параллелепипед — это многогранник, у которого, как и у куба, 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней. Основное отличие заключается в том, что грани параллелепипеда являются параллелограммами, а не обязательно квадратами. Однако количество и способ соединения вершин (топологическая структура) у параллелепипеда и куба одинаковы.
Следовательно, рассуждения для нахождения числа диагоналей параллелепипеда аналогичны рассуждениям для куба. У каждой из 8 вершин есть ровно одна противолежащая вершина, не лежащая с ней в одной грани. Эти пары вершин и образуют диагонали. Их количество также равно $8 / 2 = 4$.
Ответ: 4.