Вопрос?, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Как вы думаете, подобны ли любые два:

а) куба;

б) параллелепипеда?

а) куба

Два тела называются подобными, если одно может быть получено из другого путем увеличения или уменьшения всех его линейных размеров в одинаковое число раз. Это число называется коэффициентом подобия.

Куб — это правильный многогранник, все ребра которого равны между собой. Обозначим длину ребра одного куба как $a_1$, а другого — как $a_2$.

Чтобы проверить, подобны ли эти два куба, нужно найти отношение их соответствующих линейных размеров. У куба все ребра равны, поэтому отношение любых двух соответствующих ребер будет одинаковым: $k = \frac{a_2}{a_1}$

Поскольку все углы у любого куба также одинаковы (все двугранные углы прямые), то условие подобия выполняется для любых двух кубов. Один куб всегда можно получить из другого путем равномерного масштабирования (растяжения или сжатия) вдоль всех осей с коэффициентом $k$.

Таким образом, любые два куба всегда подобны друг другу.

Ответ: да, любые два куба подобны.

б) параллелепипеда

Параллелепипед в общем случае (рассмотрим для простоты прямоугольный параллелепипед) характеризуется тремя измерениями: длиной ($a$), шириной ($b$) и высотой ($c$).

Для того чтобы два параллелепипеда были подобны, необходимо, чтобы отношения всех их соответствующих измерений были равны одному и тому же числу — коэффициенту подобия $k$.

Пусть у нас есть два прямоугольных параллелепипеда:

1. Параллелепипед П₁ с измерениями $a_1, b_1, c_1$.

2. Параллелепипед П₂ с измерениями $a_2, b_2, c_2$.

Для их подобия должно выполняться условие: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = k$

Однако это условие выполняется не всегда. Рассмотрим контрпример:

Пусть параллелепипед П₁ — это куб со стороной 1, т.е. его размеры $a_1=1, b_1=1, c_1=1$.

А параллелепипед П₂ имеет размеры $a_2=2, b_2=3, c_2=4$.

Найдем отношения их соответствующих сторон: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{1} = 3$
$\frac{c_2}{c_1} = \frac{4}{1} = 4$

Поскольку отношения не равны друг другу ($2 \neq 3 \neq 4$), эти два параллелепипеда не являются подобными. Следовательно, не любые два параллелепипеда подобны.

Ответ: нет, не любые два параллелепипеда подобны.