Номер 2.8, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2.8. На рисунке 2.5 попарно пересекающиеся прямые $a, b, c$ пересекают плоскость соответственно в точках $A, B, C$. Правильно ли выполнен рисунок?

Рис. 2.5

Для того чтобы определить, правильно ли выполнен рисунок, необходимо проанализировать заданные условия с точки зрения аксиом и теорем стереометрии.

По условию, прямые a, b и c попарно пересекаются. Это означает, что существует точка пересечения для каждой пары прямых: ($a \cap b$), ($b \cap c$), ($a \cap c$).

Согласно основной теореме о расположении трех попарно пересекающихся прямых в пространстве, возможны только два случая:

1. Все три прямые проходят через одну общую точку.
В этом случае прямые a, b и c пересекаются в некоторой точке S. Если эта точка S не принадлежит плоскости $\alpha$, то прямые, проходя через нее, пересекут плоскость $\alpha$ в трех различных точках A, B и C. В общем случае эти точки не будут лежать на одной прямой, а образуют треугольник. Такая пространственная конфигурация возможна.

2. Все три прямые лежат в одной плоскости.
Пусть прямые a, b и c лежат в некоторой плоскости, назовем ее $\beta$. Эта плоскость $\beta$ пересекается с плоскостью $\alpha$. Линией пересечения двух различных плоскостей является прямая. Обозначим эту прямую пересечения как l.
Точка A — это точка пересечения прямой a и плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $a \in \beta$, то точка $A$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. Следовательно, точка A должна лежать на линии их пересечения l.
Аналогично, точка B (как $b \cap \alpha$) и точка C (как $c \cap \alpha$) также должны принадлежать прямой l.
Таким образом, если три попарно пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости, то точки их пересечения с любой другой плоскостью должны лежать на одной прямой (быть коллинеарными).

Теперь вернемся к рисунку 2.5. На нем показано, что прямые a, b и c пересекаются попарно, но в трех разных точках. Это означает, что они не проходят через одну общую точку. Следовательно, на рисунке изображена ситуация, соответствующая второму случаю: прямые a, b и c должны лежать в одной плоскости.

Исходя из этого, точки A, B и C (точки пересечения этих прямых с плоскостью $\alpha$) должны лежать на одной прямой. Однако на рисунке точки A, B и C явно не лежат на одной прямой, а образуют вершины треугольника.

Таким образом, в рисунке заложено противоречие. Конфигурация прямых a, b, c подразумевает, что точки A, B, C должны быть коллинеарны, но они изображены как неколлинеарные.

Ответ: Рисунок выполнен неправильно.