Номер 2.9, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2.9. Две вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма принадлежат одной плоскости. Верно ли, что и две другие вершины параллелограмма принадлежат этой плоскости?

Для ответа на данный вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая, в зависимости от того, какие именно две вершины принадлежат плоскости.

Случай 1: Две данные вершины являются смежными.
Пусть задан параллелограмм $ABCD$, а точка пересечения его диагоналей — $O$. Предположим, что смежные вершины $A$ и $B$, а также точка $O$, принадлежат одной плоскости $\alpha$.
В параллелограмме вершины $A$, $B$ и центр $O$ не лежат на одной прямой (иначе вершина $B$ оказалась бы на диагонали $AC$, что для невырожденного параллелограмма невозможно). Три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость. Следовательно, плоскость $\alpha$ — это плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $O$.
По свойству диагоналей параллелограмма, точка $O$ является серединой диагонали $AC$. Это значит, что точка $C$ лежит на прямой $AO$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой (в данном случае $A$ и $O$) принадлежат плоскости (в данном случае $\alpha$), то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, точка $C$ также принадлежит плоскости $\alpha$.
Аналогично, точка $O$ является серединой диагонали $BD$. Это значит, что точка $D$ лежит на прямой $BO$. Так как точки $B$ и $O$ принадлежат плоскости $\alpha$, то и вся прямая $BO$ принадлежит этой плоскости. Следовательно, точка $D$ также принадлежит плоскости $\alpha$.
В этом случае утверждение верно: две другие вершины ($C$ и $D$) также принадлежат этой плоскости.

Случай 2: Две данные вершины являются противолежащими.
Предположим, что противолежащие вершины $A$ и $C$, а также точка $O$, принадлежат плоскости $\alpha$.
Точки $A$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой — диагонали $AC$. Следовательно, вся прямая $AC$ принадлежит плоскости $\alpha$.
Две другие вершины, $B$ и $D$, лежат на другой диагонали $BD$. Прямая $BD$ проходит через точку $O$, которая принадлежит плоскости $\alpha$. Однако это не означает, что вся прямая $BD$ обязана лежать в плоскости $\alpha$. Прямая может пересекать плоскость в одной точке.
Рассмотрим контрпример. Введем в пространстве прямоугольную систему координат. Пусть плоскость $\alpha$ совпадает с плоскостью $Oxy$ (то есть все точки этой плоскости имеют координату $z=0$).
Выберем в плоскости $\alpha$ вершины $A(-1, 0, 0)$ и $C(1, 0, 0)$. Точка пересечения диагоналей $O$ — это середина отрезка $AC$, ее координаты $O(0, 0, 0)$. Все три точки ($A$, $C$, $O$) лежат в плоскости $\alpha$.
Теперь найдем такие вершины $B$ и $D$, чтобы они не лежали в плоскости $\alpha$. Точка $O$ должна быть серединой отрезка $BD$. Пусть вершина $B$ имеет координаты $(0, 2, 3)$. Тогда, чтобы $O$ была серединой $BD$, вершина $D$ должна иметь координаты $(0, -2, -3)$. Координата $z$ для точек $B$ и $D$ не равна нулю, значит, они не принадлежат плоскости $\alpha$.
Проверим, является ли полученная фигура $ABCD$ параллелограммом. Для этого достаточно проверить равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.
$\vec{AB} = (0 - (-1), 2 - 0, 3 - 0) = (1, 2, 3)$
$\vec{DC} = (1 - 0, 0 - (-2), 0 - (-3)) = (1, 2, 3)$
Поскольку $\vec{AB} = \vec{DC}$, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.
Мы построили пример, в котором две противолежащие вершины ($A$ и $C$) и точка пересечения диагоналей ($O$) лежат в одной плоскости, а две другие вершины ($B$ и $D$) этой плоскости не принадлежат.
Следовательно, в данном случае утверждение не всегда верно.

Поскольку существует случай (когда данные вершины противолежащие), в котором утверждение не выполняется, то общее утверждение является неверным.

Ответ: Нет, неверно.