Страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3.1. Сколько вершин ($B$), ребер ($P$) и граней ($\Gamma$) имеет: а) тетраэдр; б) куб; в) параллелепипед?

а) Тетраэдр — это многогранник, ограниченный четырьмя треугольными гранями. Его можно представить как треугольную пирамиду.
- Вершины ($В$): Тетраэдр имеет 3 вершины в основании и 1 вершину сверху (апекс). Общее количество вершин: $3 + 1 = 4$.
- Рёбра ($Р$): Три ребра образуют треугольное основание, и еще три ребра соединяют вершины основания с апексом. Общее количество рёбер: $3 + 3 = 6$.
- Грани ($Г$): Одна грань является основанием (треугольник), и три боковые грани (также треугольники) образуют боковую поверхность. Общее количество граней: $1 + 3 = 4$.
Эти значения удовлетворяют формуле Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$.
Подставим наши значения: $4 - 6 + 4 = 2$. Равенство выполняется.
Ответ: 4 вершины, 6 рёбер, 4 грани.

б) Куб — это правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Куб является частным случаем параллелепипеда и призмы.
- Вершины ($В$): У куба есть 4 вершины на нижнем основании и 4 вершины на верхнем основании. Общее количество вершин: $4 + 4 = 8$.
- Рёбра ($Р$): Четыре ребра на нижнем основании, четыре на верхнем и четыре боковых ребра, соединяющих соответствующие вершины оснований. Общее количество рёбер: $4 + 4 + 4 = 12$.
- Грани ($Г$): Одно нижнее основание, одно верхнее основание и четыре боковые грани. Общее количество граней: $1 + 1 + 4 = 6$.
Проверим по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 2$.
Подставим значения для куба: $8 - 12 + 6 = 2$. Равенство выполняется.
Ответ: 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней.

в) Параллелепипед — это многогранник (призма), у которого шесть граней, и каждая из них — параллелограмм.
- Вершины ($В$): Аналогично кубу, у параллелепипеда 4 вершины на нижнем основании и 4 на верхнем. Общее количество вершин: $8$.
- Рёбра ($Р$): Четыре ребра на нижнем основании, четыре на верхнем и четыре боковых ребра. Общее количество рёбер: $12$.
- Грани ($Г$): Два основания (нижнее и верхнее) и четыре боковые грани. Общее количество граней: $6$.
Как видно, у любого параллелепипеда такое же количество вершин, рёбер и граней, как у куба.
Проверка по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 2$.
Подставим значения: $8 - 12 + 6 = 2$. Равенство выполняется.
Ответ: 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней.

3.2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите прямые, содержащие его ребра и пересекающие плоскость $ABC$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскость, заданная тремя точками $A$, $B$ и $C$, является плоскостью нижнего основания куба, так как все четыре вершины основания ($A, B, C, D$) лежат в этой плоскости. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти ребра куба, которые пересекают плоскость основания $ABCD$.

Прямая может пересекать плоскость (иметь с ней одну общую точку), лежать в плоскости (иметь с ней бесконечно много общих точек) или быть параллельной плоскости (не иметь с ней общих точек). В данной задаче под "пересекающими" понимаются прямые, имеющие с плоскостью ровно одну общую точку.

Рассмотрим все 12 ребер куба, разделив их на три группы:

1. Ребра нижнего основания: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Прямые, содержащие эти ребра, целиком лежат в плоскости $ABC$, а значит, не пересекают ее в одной точке.

2. Ребра верхнего основания: $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1D_1$, $D_1A_1$. Эти ребра лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$, которая параллельна плоскости нижнего основания $ABC$. Следовательно, прямые, содержащие эти ребра, параллельны плоскости $ABC$ и не имеют с ней общих точек.

3. Вертикальные ребра: $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$. Каждое из этих ребер соединяет вершину нижнего основания (которая лежит в плоскости $ABC$) с вершиной верхнего основания (которая не лежит в этой плоскости). Поэтому прямые, содержащие эти ребра, пересекают плоскость $ABC$ в одной точке.
- Прямая $AA_1$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $A$.
- Прямая $BB_1$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $B$.
- Прямая $CC_1$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $C$.
- Прямая $DD_1$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $D$.

Таким образом, искомыми являются прямые, содержащие вертикальные ребра куба.

Ответ: $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$.

3.3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскости, содержащие его грани и пересекающие плоскость $BCC_1$.

Чтобы найти плоскости, содержащие грани куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и пересекающие плоскость ($BCC_1$), необходимо рассмотреть взаимное расположение плоскости ($BCC_1$) с плоскостями остальных граней куба. Две различные плоскости в пространстве пересекаются, если они не параллельны.

В кубе плоскости, содержащие противоположные грани, параллельны, а плоскости, содержащие смежные грани, пересекаются по общему ребру.

Плоскость ($BCC_1$) содержит правую грань куба $BCC_1B_1$.

Рассмотрим плоскости всех шести граней:

Единственная грань, параллельная грани $BCC_1B_1$, — это противоположная ей грань $ADD_1A_1$. Следовательно, плоскость ($ADD_1$) параллельна плоскости ($BCC_1$) и не пересекает её.

Плоскость самой грани $BCC_1B_1$ совпадает с плоскостью ($BCC_1$). В рамках задачи ищутся другие плоскости, которые её пересекают.

Остальные четыре грани являются смежными с гранью $BCC_1B_1$, а значит, их плоскости пересекают плоскость ($BCC_1$).

- Плоскость нижней грани $ABCD$, то есть плоскость ($ABC$), имеет общее ребро $BC$ с гранью $BCC_1B_1$. Линия пересечения плоскостей — прямая $BC$.

- Плоскость верхней грани $A_1B_1C_1D_1$, то есть плоскость ($A_1B_1C_1$), имеет общее ребро $B_1C_1$ с гранью $BCC_1B_1$. Линия пересечения плоскостей — прямая $B_1C_1$.

- Плоскость передней грани $ABB_1A_1$, то есть плоскость ($ABB_1$), имеет общее ребро $BB_1$ с гранью $BCC_1B_1$. Линия пересечения плоскостей — прямая $BB_1$.

- Плоскость задней грани $DCC_1D_1$, то есть плоскость ($DCC_1$), имеет общее ребро $CC_1$ с гранью $BCC_1B_1$. Линия пересечения плоскостей — прямая $CC_1$.

Таким образом, искомыми являются плоскости четырех граней, смежных с гранью $BCC_1B_1$.

Ответ: Плоскости ($ABC$), ($A_1B_1C_1$), ($ABB_1$), ($DCC_1$).

3.4. На клетчатой бумаге изобразите тетраэдр аналогично данному на рисунке 3.6.

Рис. 3.6

Для того чтобы изобразить на клетчатой бумаге тетраэдр, аналогичный данному на рисунке, необходимо выполнить пошаговую инструкцию по его построению. Весь процесс состоит из определения положения вершин и их последующего соединения.

1. Сначала необходимо отметить на клетчатой бумаге четыре вершины тетраэдра. Обозначим их буквами A, B, C и D. Их взаимное расположение является ключом к правильному построению.

   • Выберите на сетке произвольный узел (пересечение линий) и обозначьте его как вершину B. Рекомендуется выбрать эту точку так, чтобы вокруг было достаточно места для остальной части фигуры.
   • Чтобы найти вершину A, отсчитайте от точки B 3 клетки влево и 1 клетку вверх. Поставьте там точку A.
   • Чтобы найти вершину C, вернитесь к точке B и отсчитайте от нее 3 клетки вправо и 2 клетки вверх. Поставьте там точку C.
   • Чтобы найти последнюю, верхнюю вершину D, вернитесь к точке B и отсчитайте от нее 6 клеток строго вверх. Поставьте там точку D.

   После этого шага у вас будут отмечены все четыре вершины будущего тетраэдра.

2. Теперь нужно соединить отмеченные вершины отрезками, которые будут являться ребрами тетраэдра. Важно учесть, что некоторые ребра будут видимыми, а некоторые — нет.

   • Сплошными (видимыми) линиями соедините следующие пары вершин: D с A, D с B, D с C, а также A с B и B с C.
   • Пунктирной (невидимой) линией соедините вершины A и C. Это ребро считается невидимым, так как с данного ракурса оно перекрывается самой фигурой.

В результате выполнения этих действий на вашей клетчатой бумаге появится изображение тетраэдра, в точности повторяющее то, что показано на рисунке 3.6.

Ответ:

Для построения тетраэдра на клетчатой бумаге необходимо отметить четыре вершины. В качестве отправной точки выберите вершину B. Относительно нее расположите остальные вершины: A — на 3 клетки влево и 1 клетку вверх; C — на 3 клетки вправо и 2 клетки вверх; D — на 6 клеток строго вверх. Затем соедините вершины отрезками: рёбра DA, DB, DC, AB, BC нарисуйте сплошными линиями, а ребро AC — пунктирной линией.

3.5. На клетчатой бумаге изобразите куб аналогично данному на рисунке 3.7.

Рис. 3.7

Для того чтобы изобразить куб на клетчатой бумаге так, как показано в задании, необходимо следовать пошаговой инструкции. В основе этого изображения лежит метод параллельной проекции, который позволяет создать иллюзию объёма на плоскости.

Шаг 1. Построение передней грани

Начните с изображения передней грани куба. На клетчатой бумаге нарисуйте квадрат со стороной, равной 4 клеткам. Все четыре стороны этого квадрата должны быть нарисованы сплошными линиями, так как эта грань полностью видна наблюдателю.

Шаг 2. Построение рёбер глубины

Чтобы показать глубину куба, от вершин переднего квадрата нужно провести параллельные отрезки. В данном примере каждая такая линия строится смещением на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх от соответствующей вершины. Это создаёт проекцию под углом $45^\circ$ к горизонтали.
Три из четырёх рёбер глубины являются видимыми. Проведите сплошные линии от верхней левой, верхней правой и нижней правой вершин передней грани.
Ребро, идущее от нижней левой вершины, является невидимым, так как оно скрыто основной частью куба. Его следует изобразить пунктирной линией.

Шаг 3. Построение задней грани

Концы четырёх рёбер глубины, построенных на предыдущем шаге, образуют вершины задней грани. Соедините эти вершины, чтобы завершить куб.
Верхнее и правое рёбра задней грани являются видимыми, поэтому их следует рисовать сплошными линиями.
Нижнее и левое рёбра задней грани невидимы, поэтому их нужно нарисовать пунктирными линиями.

В результате выполнения этих шагов у вас получится изображение куба, полностью аналогичное приведённому в примере.

Ответ:

3.6. На клетчатой бумаге изобразите прямоугольный параллелепипед аналогично данному на рисунке 3.8.

Рис. 3.8

Для того чтобы нарисовать прямоугольный параллелепипед на клетчатой бумаге аналогично представленному образцу, необходимо последовательно построить его грани и ребра, используя клетки как единицы измерения. Проанализируем размеры фигуры на рисунке 3.8: передняя грань представляет собой прямоугольник с шириной 4 клетки и высотой 3 клетки. Ребра, уходящие вглубь, изображены под наклоном: каждая точка смещается на 2 клетки вправо и на 1 клетку вверх.

Процесс построения можно разбить на следующие этапы:

1. Начертите переднюю видимую грань. Это прямоугольник размером $4 \times 3$ клетки. Для этого выберите начальную точку (например, левый нижний угол) и отложите от нее 4 клетки вправо и 3 клетки вверх, после чего завершите прямоугольник.

2. Начертите ребра, создающие объем. От трех видимых вершин передней грани (правой верхней, правой нижней и левой верхней) проведите три одинаковых параллельных отрезка. Каждый из них должен идти от вершины к точке, смещенной на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх. Эти линии должны быть сплошными.

3. Начертите видимую часть задней грани. Соедините сплошными линиями концы трех отрезков, которые вы нарисовали на предыдущем шаге. У вас получится верхнее и правое боковое ребра задней грани.

4. Начертите невидимые ребра. От четвертой, оставшейся вершины передней грани (левой нижней) проведите пунктирный отрезок, также смещенный на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх. Затем соедините его конец пунктирными линиями с двумя ближайшими вершинами задней грани. Эти три пунктирные линии представляют ребра, которые не видны зрителю с данного ракурса.

В результате этих действий будет построен прямоугольный параллелепипед, полностью соответствующий образцу.

Ответ:

Для построения фигуры необходимо начертить на клетчатой бумаге прямоугольник размером 4 клетки в ширину и 3 клетки в высоту (передняя грань). Затем от каждой его вершины провести отрезки, соответствующие смещению на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх. Вершины соединяются так, чтобы образовался параллелепипед. Ребра, которые видны с выбранного ракурса, изображаются сплошными линиями, а невидимые (три ребра, сходящиеся в дальней нижней левой вершине) — пунктирными.

3.7. На клетчатой бумаге изображены три ребра куба (рис. 3.9). Изобразите весь куб.

а)

б)

Рис. 3.9

а)

В данном случае на рисунке изображены три ребра, выходящие из одной вершины куба. Две сплошные линии — это видимые ребра, а одна пунктирная линия — невидимое ребро. Это означает, что вершина, из которой они выходят, является видимой, но не самой ближней к наблюдателю. Куб изображен в аксонометрической проекции, где ребра, параллельные плоскости рисунка (вертикальное и горизонтальное), имеют длину, равную стороне куба, — 4 клетки. Ребро, уходящее вглубь, проецируется с искажением.

Для построения всего куба необходимо выполнить следующие шаги:

1. Достроить видимую переднюю грань. Для этого из концов уже нарисованных вертикального и горизонтального ребер проводим параллельные им отрезки длиной 4 клетки до их пересечения. Эти ребра будут видимыми (сплошные линии).
2. Из каждой вершины полученной передней грани провести ребра, "уходящие вглубь". Все эти ребра должны быть параллельны и равны исходному пунктирному ребру (смещаемся на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх).
3. Определить видимость этих ребер и ребер задней грани. Ребра, образующие внешний контур проекции куба, всегда видимы. Также видимы ребра, сходящиеся в самой ближней к нам вершине (в данном случае это правая верхняя вершина передней грани). Невидимыми (пунктирными) будут три ребра, сходящиеся в самой дальней от нас вершине. Одно такое ребро уже дано, достраиваем еще два.

В результате получится следующее изображение куба:

Ответ: Изображение куба представлено выше. Достраиваются 7 видимых ребер (сплошные линии) и 2 невидимых ребра (пунктирные линии).

б)

В этом случае все три изображенных ребра являются пунктирными. Это означает, что они сходятся в самой дальней, невидимой для наблюдателя, вершине куба. Следовательно, все эти три ребра невидимы.

Для построения всего куба нужно понимать, что все остальные 9 ребер будут видимыми и должны быть изображены сплошными линиями.

1. Построение выполняется путем параллельного переноса. От каждого конца данных трех ребер откладываем отрезки, параллельные и равные двум другим данным ребрам.
2. Например, от верхнего конца вертикального ребра строим горизонтальное ребро (4 клетки вправо) и диагональное ребро (2 клетки влево, 1 клетка вниз).
3. Аналогично поступаем с концами двух других ребер.
4. Соединяем получившиеся вершины. Все новые линии будут сплошными, так как они образуют видимый каркас куба. В результате три видимые грани куба (верхняя, правая и передняя) будут полностью прорисованы.

В результате получится следующее изображение куба:

Ответ: Изображение куба представлено выше. Поскольку исходные ребра являются невидимыми, все остальные 9 ребер куба будут видимыми и рисуются сплошными линиями.