Страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.16. На клетчатой бумаге изображены ребра: а) четырехугольной; б) шестиугольной пирамиды (рис. 4.9). Изобразите всю пирамиду.

а)

б)

Рис. 4.9

а)

Для построения четырехугольной пирамиды необходимо определить координаты всех ее вершин и достроить недостающие ребра, определив их видимость.

1. Проанализируем исходные данные на клетчатой бумаге. Зададим систему координат, где одна клетка равна единице. На изображении показаны три ребра пирамиды. Определим координаты вершин:

• Вершина пирамиды (апекс): $S = (3, 7)$.
• Вершина основания $V_1 = (1, 3)$, соединенная с апексом невидимым (штриховым) ребром $SV_1$.
• Вершина основания $V_2 = (5, 3)$, соединенная с $V_1$ невидимым ребром основания $V_1V_2$.
• Вершина основания $V_3 = (7, 1)$, соединенная с $V_2$ видимым (сплошным) ребром основания $V_2V_3$. (Предполагаем, что ребра соединены последовательно, несмотря на небольшую неточность в изображении).

2. Основанием пирамиды является четырехугольник $V_1V_2V_3V_4$. Три вершины известны. Для задач такого типа характерно, что основание является параллелограммом. Найдем четвертую вершину $V_4$, используя свойство параллелограмма (равенство векторов противоположных сторон): $\vec{V_1V_4} = \vec{V_2V_3}$.
Вектор $\vec{V_2V_3} = (7-5, 1-3) = (2, -2)$.
Тогда координаты $V_4$ равны $V_1 + \vec{V_2V_3} = (1, 3) + (2, -2) = (3, 1)$.
Итак, вершины основания: $V_1(1,3), V_2(5,3), V_3(7,1), V_4(3,1)$.

3. Определим видимость недостающих ребер.

• Из того, что ребра $SV_1$ и $V_1V_2$ невидимы (штриховые), следует, что вершины $V_1$ и $V_2$ являются "задними", т.е. скрытыми от наблюдателя.
• Ребро $V_2V_3$ видимо, значит, вершина $V_3$ является "передней", видимой. Вершина $V_4(3,1)$ также является видимой.
• Ребро основания $V_3V_4$: соединяет две видимые вершины, является передним ребром. Рисуем сплошной линией.
• Ребро основания $V_4V_1$: соединяет видимую вершину $V_4$ и невидимую $V_1$. Такое ребро является контурным, оно видимо. Рисуем сплошной линией.
• Боковое ребро $SV_2$: соединяет апекс с невидимой вершиной $V_2$. Оно будет скрыто видимыми гранями пирамиды. Рисуем штриховой линией.
• Боковое ребро $SV_3$: соединяет апекс с видимой вершиной $V_3$. Является контурным ребром пирамиды. Рисуем сплошной линией.
• Боковое ребро $SV_4$: соединяет апекс с видимой вершиной $V_4$. Находится на видимой грани. Рисуем сплошной линией.

Ответ:

б)

Для построения шестиугольной пирамиды выполним аналогичные действия.

1. Проанализируем исходные данные. На изображении показаны одно боковое ребро и два ребра основания. Определим координаты вершин:

• Вершина пирамиды (апекс): $S = (4, 6)$.
• Вершина основания $V_1 = (5, 3)$, соединенная с апексом невидимым ребром $SV_1$.
• Вершины основания, образующие видимую цепь ребер: $V_4 = (1, 2)$, $V_5 = (3, 1)$ и $V_6 = (7, 1)$. Ребра $V_4V_5$ и $V_5V_6$ видимы (сплошные).

2. Основанием является шестиугольник. В таких задачах часто предполагается, что основание является центрально-симметричным шестиугольником. Найдем недостающие вершины $V_2$ и $V_3$. Если шестиугольник $V_1V_2V_3V_4V_5V_6$ центрально-симметричен, то его центр симметрии $O$ является серединой диагоналей, соединяющих противоположные вершины (например, $V_1$ и $V_4$).
Найдем центр симметрии $O$ как середину отрезка $V_1V_4$: $O = \frac{V_1+V_4}{2} = \frac{(5,3)+(1,2)}{2} = (3, 2.5)$.
Теперь найдем недостающие вершины $V_2$ и $V_3$, зная, что $V_5$ и $V_6$ противоположны им соответственно:
$V_2 = 2O - V_5 = 2(3, 2.5) - (3, 1) = (6, 5) - (3, 1) = (3, 4)$.
$V_3 = 2O - V_6 = 2(3, 2.5) - (7, 1) = (6, 5) - (7, 1) = (-1, 4)$.
Итак, вершины основания: $V_1(5,3), V_2(3,4), V_3(-1,4), V_4(1,2), V_5(3,1), V_6(7,1)$.

3. Определим видимость недостающих ребер.

• $SV_1$ — невидимое ребро, значит $V_1$ — невидимая вершина. Из соображений симметрии, $V_2$ и $V_3$ также невидимы.
• $V_4V_5$ и $V_5V_6$ — видимые ребра, значит $V_4, V_5, V_6$ — видимые вершины.
• Ребра основания $V_1V_2$ и $V_2V_3$: соединяют невидимые вершины, находятся на задней стороне основания. Рисуем штриховыми линиями.
• Ребра основания $V_3V_4$ и $V_6V_1$: соединяют видимую и невидимую вершины, являются контурными. Рисуем сплошными линиями.
• Боковые ребра $SV_2$ и $SV_3$: соединяют апекс с невидимыми вершинами. Рисуем штриховыми линиями.
• Боковые ребра $SV_4$, $SV_5$ и $SV_6$: соединяют апекс с видимыми вершинами. Они образуют видимую поверхность пирамиды. Рисуем сплошными линиями.

Ответ:

4.17. Сколько диагоналей имеет: а) $n$-угольная пирамида; б) $n$-угольная призма?

а) n-угольная пирамида

Диагональю многогранника называется отрезок, который соединяет две его вершины, не принадлежащие одной и той же грани.

Рассмотрим n-угольную пирамиду. Она имеет $n+1$ вершину: $n$ вершин в основании и одну вершину-апекс. Проанализируем все возможные отрезки между вершинами:

1. Отрезок, соединяющий две вершины основания. Эти вершины лежат в одной грани — основании. Следовательно, такой отрезок не является диагональю пирамиды (он является либо стороной основания, либо его диагональю).

2. Отрезок, соединяющий апекс с вершиной основания. Эти вершины лежат на одной из боковых граней (являющейся треугольником). Следовательно, такой отрезок (являющийся боковым ребром) также не является диагональю пирамиды.

Так как любые две вершины пирамиды лежат на одной общей грани (либо на основании, либо на одной из боковых граней), то в n-угольной пирамиде нет диагоналей.

Это можно подтвердить и расчетом по формуле. Число диагоналей многогранника $D$ вычисляется как разность между общим числом отрезков, соединяющих пары вершин ($C_V^2$), числом ребер ($E$) и числом диагоналей на всех гранях ($F_d$): $D = C_V^2 - E - F_d$.

Для n-угольной пирамиды:

Число вершин $V = n+1$.

Число ребер $E = 2n$.

Число диагоналей граней $F_d$ равно числу диагоналей основания $\frac{n(n-3)}{2}$, так как боковые грани — треугольники и диагоналей не имеют.

Общее число отрезков между всеми парами вершин: $C_{n+1}^2 = \frac{n(n+1)}{2}$.

Тогда число диагоналей:

$D = \frac{n(n+1)}{2} - 2n - \frac{n(n-3)}{2} = \frac{n^2+n - 4n - (n^2-3n)}{2} = \frac{n^2-3n-n^2+3n}{2} = 0$.

Ответ: 0.

б) n-угольная призма

В n-угольной призме $2n$ вершин, $3n$ ребер и $n+2$ граней (два n-угольных основания и $n$ четырехугольных боковых граней).

Для нахождения числа диагоналей воспользуемся двумя способами.

Способ 1: Использование общей формулы.

Число диагоналей многогранника: $D = C_V^2 - E - F_d$.

Найдем компоненты для n-угольной призмы:

Число вершин $V = 2n$. Общее число отрезков между всеми парами вершин: $C_{2n}^2 = \frac{2n(2n-1)}{2} = 2n^2-n$.

Число ребер $E = 3n$.

Число диагоналей на гранях $F_d$. Два n-угольных основания содержат $2 \cdot \frac{n(n-3)}{2} = n(n-3)$ диагоналей. $n$ боковых граней-четырехугольников содержат $n \cdot 2 = 2n$ диагоналей. Всего на гранях: $F_d = n(n-3) + 2n = n^2-3n+2n = n^2-n$.

Теперь подставим все в формулу:

$D = (2n^2 - n) - 3n - (n^2 - n) = 2n^2 - 4n - n^2 + n = n^2 - 3n = n(n-3)$.

Способ 2: Логический подсчет.

Диагональ призмы может соединять только вершину одного основания с вершиной другого, не лежащей с ней на одной боковой грани.

Возьмем одну вершину на нижнем основании. Из $n$ вершин верхнего основания нужно исключить ту, что соединена с нашей вершиной боковым ребром, и две соседние с ней (с ними наша вершина образует боковые грани). Итого исключаем $1+2=3$ вершины.

Значит, из одной вершины выходит $n-3$ диагонали. Так как в основании $n$ вершин, а каждая диагональ соединяет две вершины, общее число диагоналей равно $n \cdot (n-3)$.

Ответ: $n(n-3)$.

4.18. Приведите примеры реальных объектов в форме:

а) призмы;

б) пирамиды.

а) призмы

Призма — это многогранник, две грани которого (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) — параллелограммами. В окружающем нас мире можно найти множество объектов, имеющих форму призмы. Их форма зависит от многоугольника в основании.

Примеры с прямоугольным основанием (прямоугольный параллелепипед):

Это самая распространенная форма. К ней относятся: кирпич, книга, спичечный коробок, стандартная картонная коробка, системный блок компьютера, шкаф, холодильник, многоэтажный дом, аквариум. Если все ребра равны, то призма является кубом, например, игральный кубик или кубик Рубика.

Примеры с треугольным основанием (треугольная призма):

Такую форму имеют: упаковка шоколада «Toblerone», крыша дома с двумя скатами, туристическая палатка, стеклянная оптическая призма (которая используется для разложения света в спектр), деревянный клин.

Примеры с шестиугольным основанием (шестиугольная призма):

К этой категории относятся: пчелиные соты (каждая ячейка представляет собой шестиугольную призму), гайка, некоторые виды карандашей и ручек.

Ответ: Примерами реальных объектов в форме призмы являются кирпич, книга, шкаф, аквариум, двухскатная крыша дома, палатка, упаковка шоколада «Toblerone», пчелиная сота, гайка, карандаш.

б) пирамиды

Пирамида — это многогранник, основанием которого является многоугольник, а остальные грани (боковые) — это треугольники, имеющие общую вершину. Как и призмы, пирамиды в реальном мире могут иметь разную форму в зависимости от их основания.

Примеры с четырехугольным основанием (четырехугольная пирамида):

Самый известный пример — это, безусловно, древние египетские пирамиды в Гизе (например, пирамида Хеопса). В современной архитектуре это стеклянная пирамида Лувра в Париже. Также форму пирамиды имеют некоторые виды крыш (шатровая крыша), детская игрушка-пирамидка (хотя она чаще ступенчатая), заостренный кол на верхушке забора.

Примеры с треугольным основанием (треугольная пирамида или тетраэдр):

Такую форму имели старые пакеты для молока или кефира, которые назывались «тетра-пак». В химии молекула метана ($CH_4$) имеет тетраэдрическую структуру. Некоторые кристаллы могут иметь форму тетраэдра.

Другие примеры:

Пирамидальную форму можно встретить и в других объектах: наконечник копья или стрелы, некоторые монументы и обелиски, верхушки башен (шпили), дорожные конусы (хотя они являются конусами, но часто их делают с квадратным основанием, придавая форму пирамиды).

Ответ: Примерами реальных объектов в форме пирамиды являются египетские пирамиды, пирамида Лувра, шатровая крыша, детская игрушка-пирамидка, старая упаковка молока (тетраэдр), наконечник копья.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

4.19. Повторите определение параллельности двух прямых на плоскости.

4.19. В евклидовой геометрии на плоскости дается следующее определение параллельности прямых.

Определение: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Это означает, что у них нет ни одной общей точки.

Параллельность прямых a и b обозначается символом $ \parallel $, то есть записывается как $a \parallel b$.

Основные положения, связанные с параллельностью прямых:

1. Аксиома параллельности прямых (Пятый постулат Евклида): Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

2. Признаки параллельности двух прямых: Для того чтобы установить параллельность двух прямых, достаточно проверить одно из следующих условий при их пересечении третьей прямой (секущей):
• накрест лежащие углы равны;
• соответственные углы равны;
• сумма односторонних углов равна $180^\circ$.

3. Условие параллельности в координатах: Если две прямые на координатной плоскости заданы уравнениями с угловым коэффициентом $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, то они параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью ординат различны, то есть $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$. Если и $b_1 = b_2$, то прямые совпадают.
Для прямых, заданных общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, условие параллельности выражается через пропорциональность коэффициентов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

Ответ: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Сколько прямых можно провести через одну точку пространства:
A. Ни одной.
B. Одну.
C. Две.
D. Бесконечно много?

2. Сколько плоскостей можно провести через одну точку пространства:
A. Ни одной.
B. Одну.
C. Две.
D. Бесконечно много?

3. Сколько прямых можно провести через две точки пространства:
A. Ни одной.
B. Одну.
C. Две.
D. Бесконечно много?

4. Сколько прямых можно провести через различные пары из трех точек пространства, не принадлежащих одной прямой:
A. Ни одной.
B. Три.
C. Шесть.
D. Бесконечно много?

5. Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из четырех точек пространства:
A. Четыре.
B. Пять.
C. Шесть.
D. Восемь?

6. Сколько общих точек имеют две пересекающиеся плоскости:
A. Ни одной.
B. Одну.
C. Две.
D. Бесконечно много?

7. Сколько плоскостей можно провести через две точки пространства:
A. Ни одной.
B. Одну.
C. Две.
D. Бесконечно много?

8. Сколько плоскостей можно провести через три точки пространства, не принадлежащие одной прямой:
A. Ни одной.
B. Одну.
C. Три.
D. Бесконечно много?

9*. Сколько плоскостей можно провести через три вершины куба:
A. Одну.
B. Четыре.
C. Шесть.
D. Бесконечно много?

10*. Найдите число диагоналей прямоугольного параллелепипеда:
A. 2.
B. 4.
C. 6.
D. 8.

11*. Найдите число диагоналей 6-угольной призмы:
A. 6.
B. 12.
C. 9.
D. 18.

12*. Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, имеющей 12 ребер:
A. Треугольник.
B. Четырехугольник.
C. Шестиугольник.
D. Двенадцатиугольник?

13*. Какой многоугольник лежит в основании призмы, имеющей 36 ребер:
A. Шестиугольник.
B. Девятиугольник.
C. Двенадцатиугольник.
D. Тридцатишестиугольник?

14*. Призма имеет 18 вершин. Какой многоугольник лежит в ее основании:
A. Треугольник.
B. Шестиугольник.
C. Девятиугольник.
D. Восемнадцатиугольник?

15*. Пирамида имеет 10 вершин. Какой многоугольник лежит в ее основании:
A. Пятиугольник.
B. Шестиугольник.
C. Восьмиугольник.
D. Девятиугольник?

1. Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых. Представьте точку как центр сферы: любая прямая, проходящая через центр, удовлетворяет условию.
Ответ: D. Бесконечно много.

2. Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей. Представьте точку как шарнир, на котором вращается книга: каждая страница книги представляет собой плоскость, проходящую через эту точку.
Ответ: D. Бесконечно много.

3. Согласно аксиоме стереометрии, через любые две различные точки в пространстве можно провести прямую, и притом только одну.
Ответ: B. Одну.

4. Пусть даны три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Можно образовать три уникальные пары точек: (A, B), (B, C) и (A, C). Каждая пара определяет единственную прямую. Таким образом, можно провести три прямые. Это также можно рассчитать как число сочетаний из 3 по 2: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$.
Ответ: B. Три.

5. Чтобы получить наибольшее число прямых, нужно, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой. Число прямых равно числу пар, которые можно составить из четырех точек. Это число сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{4} = 6$.
Ответ: C. Шесть.

6. Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Прямая состоит из бесконечного множества точек.
Ответ: D. Бесконечно много.

7. Через две точки проходит единственная прямая. Через эту прямую можно провести бесконечное множество плоскостей. Представьте прямую как ось вращения: любая плоскость, содержащая эту ось, подходит.
Ответ: D. Бесконечно много.

8. Согласно аксиоме стереометрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Ответ: B. Одну.

9*. Вопрос можно интерпретировать по-разному. Общее число различных плоскостей, которые можно провести через тройки вершин куба, равно 20 (6 граней, 6 диагональных сечений, 8 "угловых" сечений). Поскольку этого варианта нет, рассмотрим другие толкования.
Одно из возможных толкований — это количество плоскостей симметрии, проходящих через ребра куба. Таких плоскостей 6 (они проходят через пары противолежащих ребер). Также у куба 6 граней, каждая из которых является плоскостью, определенной тремя ее вершинами. Оба этих толкования приводят к ответу 6.
Ответ: C. Шесть.

10*. Прямоугольный параллелепипед имеет 8 вершин. Диагональ (пространственная) соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани. У каждой вершины есть ровно одна противолежащая ей вершина. Таким образом, можно образовать 4 пары противолежащих вершин, которые и определяют 4 диагонали.
Ответ: B. 4.

11*. У 6-угольной призмы есть два основания (шестиугольники) и 6 боковых граней (прямоугольники). Общее число вершин $V = 2 \times 6 = 12$. Диагональ многогранника — это отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.
Общее число отрезков, соединяющих пары вершин: $C_{12}^2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$.
Из них нужно вычесть ребра и диагонали граней.
Число ребер $E = 6+6+6 = 18$.
Число диагоналей в двух шестиугольных основаниях: $2 \times (\frac{6(6-3)}{2}) = 2 \times 9 = 18$.
Число диагоналей в 6 прямоугольных боковых гранях: $6 \times 2 = 12$.
Итого диагоналей призмы: $66 - 18 - 18 - 12 = 18$.
Ответ: D. 18.

12*. Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник. У этого основания n ребер. Еще n ребер соединяют вершины основания с вершиной пирамиды. Общее число ребер $E = n + n = 2n$. По условию $E = 12$, значит $2n = 12$, откуда $n=6$. В основании лежит шестиугольник.
Ответ: C. Шестиугольник.

13*. Пусть в основании призмы лежит n-угольник. У призмы два таких основания, что дает $2n$ ребер. Еще n ребер соединяют соответствующие вершины оснований. Общее число ребер $E = 2n + n = 3n$. По условию $E = 36$, значит $3n = 36$, откуда $n=12$. В основании лежит двенадцатиугольник.
Ответ: C. Двенадцатиугольник.

14*. Пусть в основании призмы лежит n-угольник. У призмы два основания, на каждом из которых по n вершин. Общее число вершин $V = n + n = 2n$. По условию $V = 18$, значит $2n = 18$, откуда $n=9$. В основании лежит девятиугольник.
Ответ: C. Девятиугольник.

15*. Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник. У пирамиды n вершин в основании и одна вершина (апекс). Общее число вершин $V = n + 1$. По условию $V = 10$, значит $n+1 = 10$, откуда $n=9$. В основании лежит девятиугольник.
Ответ: D. Девятиугольник.